Considérons maintenant l'équation d'une surface

dans laquelle entreraient deux paramètres arbitraires a, ^ : il n'y a pas lieu de supposer que ces deux paramètres varient à la fois et indépendamment l'un de l'autre, car cela ne conduirait à aucune conséquence géométrique ; mais on peut naturellement admettre qu'il y a entre a, P une relation p = ça , au moyen de quoi l'équation précédente devient

F(^,7,^, a, (pa) = o .

On peut présentement faire varier le paramètre a, cç qui engendrera une série d'enveloppées et une surface enveloppe correspondante. Comme la fonction ç estarbi-

442 LIVUfi IV. CHAPITRE VIH.

traire , chaque forme qu'on lui assignera déterminera un système de surfaces enveloppées , ayant son enveloppe particulière.

D'ailleurs, comme l'équation [F] renferme deux variables indépendante x, j;i\ est permis de la difierentier par rapport à chacune de ces variables , ce qui donne

dF ^ dF dF ^ dF ri^n

l'élimination de a, p entre les équations [F] et [F'] conduit à l'équation aux différences partielles du premier ordre

et toutes les surfaces enveloppées données par l'équation [F] , comme aussi toutes les s.urfaces enveloppes données par l'élimination de a entre les deux équations

F(x,:r,z,.,^,)=o,^ife^i^liîl)==o, ((F))

jouissent évidemment de la propriété de satisfaire à l'équation (/).

C'est ici que se rompt le fil de l'analogie entre la théorie de l'enveloppement des courbes planes et celle de l'enveloppement des surfaces. Effectivement, nous avons vu que les courbes enveloppées et la courbe enveloppe satisfont à la même équation différentielle à deux variables, dans laquelle le paramètre variable n'entre pas ; mais il y a une infinité d'enveloppées pour une enveloppe, et par conséquent l'équation commune aux enveloppées satisfait d'une manière plus générale à l'équation différentielle que ne le fait l'équation de l'enveloppe. Au contraire , l'équation [ F ] satisfait à l'équation (/') aux différences partielles, dans laquelle les paramètres a, p

n'entrent pas, avec moins de généralité que ne le fait le système des équations ((F)) ; puisque toutes les surfaces données par l'équation [F] sont des surfaces de même espèce , qui ne diffèrent que par les valeurs numériques des paramètres a, ^; tandis que les surfaces qui sont données par le système des équations ((F)) varienl d'espèce selon la forme assignée arbitrairement à la fonction (p y et ne sont unies entre elles que par un caractère de famille^ celui de satisfaire à une même équatiou aux différences partielles*

Si l'on élimine a, p entre l'équation [F] et ses deux dérivées par rapport à <t et à ^ ,

rfF rfF

^ = ^' rf^=^' ou a une équation en x^ j^ z seulement

qui satisfait encore à l'équation (/") ; et la surface (^) jouit de la propriété de toucher ou d'envelopper, nonseulement les enveloppées [F], mais encore les enveloppes ((F)). Cette enveloppe générale et individuellement déterminée correspond à la courbe enveloppe, déterminée individuellement, d'après la théorie de l'enveloppement des courbes : et l'équation (^) qui satisfait à l'équation (y) , sans pouvoir rentrer dans le système ((F)) par une détermination convenable de la fonction arbitraire (p, est une de ces intégrales singulières dont on a annoncé l'existence [1^7], et sur lesquelles nous devons revenir en traitant de l'intégration des équations aux différences partielles.

259. Les remarques du n** précédent , au sujet de Tindétermination de la fonction <p qui entre dans les équations ((F)) , indiquent la liaison de la ihéorie de lenve-

444 LIVRB IV. CHAPITRE Vlir.

loppement des surfaces avec celle du groupement des surfaces par familles qui a fait l'objet spécial du précédent chapitre ; mais cette liaison sera rendue plus sensible au moyen des considérations suivaïites.

Au lieu de concevoir qu'on élimine a entre les équations ((F)), pour obtenir l'équation de la surface enveloppe qui correspond à une forme particulière de la fonction (p^ pi*enons ces équations simultanément, de manière qu'elles représentent la caractéristique qui correspond à cette forme particulière de (p et à une valeur particulière de a. Mettons de plus la seconde de ces équations sous la forme

rfF dF , •J-+ rr~ .' © a = o :

comme les variables x^ y^ z ne sont pas comprises sous les signes 9, f', on voit que les équations de la caractéristique se trouvent composées de la même manière en Xj jj z, quelle que soit la forme assignée à la fonction (p. Par conséquent, cette caractéristique peut être considérée comme la génératrice qui décrit à volonté l'une quelconque des surfaces enveloppes ((F)), en changeant de position dans l'espace ou même de forme suivant une loi déterminée pour chaque enveloppe par la forme de la fonction ç; mais de manière toutefois que la composition en Xj y^z des équations de la génératrice ne change pas. De là le nom de caractéristique donné par Monge à la ligne dont il s'agit, parce qu'elle imprime un caractère de famille à toutes les surfaces comprises dans le système ((Fj), et qui jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (/j.

Au point de vue analytique, la description d'une surface par la génératrice dont les équations sont

DES SURFACES KNVELOPPES. . 445

FC-a^^/î-î a, <pa) = 0 , Fj(a7,/, z, a, «pa)=o , {b) n'est qu'un cas particulier de la description par une génératrice dont les équations prendraient la forme F(ar,7,iJ, a,<pa,<p'a)=o, F,(j:,/, z-^ a, <pa, (p'a) =o. (*.) Le second système n'a pas , dans sa signification j plus d'étendue que l'autre, à cause que la fonction <p' est déterminée par cela seul qu'on assigne la fonction f : seulement, si les fonctions F, F, sont algébriques, on peut tirer des équations (b)

et par suite

fy f désignant des fonctions connues; tandis que l'élimination ne sera praticable entre les équations {b^ qu'après qu'on aura*particularisé la fonction ç : ce qui empêche d'exprimer par une seule équation toutes les surfaces de même famille que le système (è,) représente , à la faveur de l'indétermination du signe 9.

Si maintenant on suppose que la fonction F ne contient pas 9' a, et que Ton a

on retombe encore sur un cas particulier de description qui est celui dont nous nous occupons dans ce chapitre : la génératrice prenant le nom de caractéristique, et étant donnée par l'intersection de deux enveloppées infiniment voisines. •

260. La même enveloppe peut avoir des caractéristiques différentes, ce qui revient à dire que la même , surface peut avoir diverses génératrices, et par suite appartenir à la fois à diverses familles [a4ti].

Mais sans sortir de la même famille de surfaces, ca-

446 LIVRE JV. CHAPITRE VrU.

ractérisée piir la niême équation aux différences partielles, on trouve que la même enveloppe peut correspondre à une infinité de systèmes différents d'enveloppées; ou que la caractéristique, dont le mouvement engendre la surface enveloppe, et qui est donnée par l'intersection de deux enveloppées consécutives , peut rester la même, quoique les surfaces qui se coupent soient différentes.

Pour en donner un exemple bien simple, imaginons un plan qui se meuve en touchant constamment l'enveloppe suivant une caractéristique : ce plan engendre une surface développable, dans l'équation de laquelle entrent a et <pa; de sorte que, si l'on y fait varier a, on obtient une suite de surfaces développables tangentes à l'enveloppe, et dont deux quelconques consécutives se coupent suivant une des caractéristiques. Donc, si l'on suppose que la surface développable change sans cesse de forme et de situation dans l'espace en vertu de la variation continue du paramètre oc, elle aura la même enveloppe que le système des enveloppées primitives. ^on^eV ^LifiçûleY enveloppée déifeloppable. On pourrait imaginer une infinité d'enveloppées différentes, ayant les mêmes caractéristiques et la même enveloppe.

Ceci se voit aussi facilement par l'analyse. En eflfet, puisque la fonction 9, dans le système des équations ((F) j, peut être particularisée d'une manière quelconque, il est permis de poser, par exemple, (pa = a H- ia ,

a et b étant d'autres constantes quelconques, ou bien encore

4; désignant une autre fonction quelconque. On pourra alors éliminer a entre les équations ((F)), et Ton aura l'é-

quation d'une enveloppe de la forme

* (-^,7, ^j«> +«) = <> • Or, rien n'empêche d'attribuer à ^ une forme arbitraire quelconque, puis de faire varier le paramètre a d'une manière continue; on reproduit ainsi une série d'enveloppées, distincte delà série des enveloppées primitives, et dont néanmoins les enveloppes jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (f); ce qui suppose qu'elles ont avec les nouvelles enveloppées les mêmes lignes de contact qu'avec les enveloppées primitives.