Un exemple éclaircira tout ce qui précède. L'équation

(x-^)«+(jr-p)*+z'=R*, (.)

quand on y considère a, p comme des paramètres susceptibles de varier sans discontinuité, appartient à une infinité de sphères, qui toutes ont leur centre dans le plan ,x/ et le même rayon R. Cette équation , différentiée par rapport aux deux variables indépendantes^,^,

donne

x — oe + jE>z = o , y — p +qz = o ;

et l'on en déduit l'équation aux différences partielles

à laquelle satisfont toutes les surfaces sphériques représentées par l'équation (i).

Les paramètres a,p désignent ici les coordonnées du centre de la sphère. Si l'on établit la liaison arbitraire P=<fa^ ce sera faire la même chose que si l'on traçait arbitrairement dans le plan xj- la courbe que doit décrire le centre de la sphère mobile. L'enveloppe de toutes les sphères de même rayon, qui ont leur centre sur la courbe ainsi tracée, est un canal^ à section circulaire

constante, qui a pour axe ou pour ligne médiane la courbe tracée arbitrairement. Toutes les surfaces de la famille des surfaces-canoua:, parmi lesquelles le cylindre droit se trouve compris, sont donc représentées par le système des deux équations

^r— a-*-(r— fa)9'a = o, ( ^ ^

et elles jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (a), aussi bien que les sphères qu'elles enveloppent. En effet, la propriété géométrique exprimée par l'équation (a) consiste en ce que le cosinus de l'angle de la normale avec l'ordonnée z a pour valeur numérique

[a 37] ±5"? ou bien en ce que la normale vient couper

la ligne médiane du canal, ce qui est un caractère évident des surfaces de cette famille.

Le système des équations (3), quand on n'y considère plus a comme un paramètre à éliminer, détermine la caractéristique correspondante à la valeur a du paramètre : cette caractéristique, donnée par l'intersection d'une sphère et d'un plan qui passe par le centre de la sphère, est un grand cercle de la sphère.

Quand on joint aux équations (3) la dérivée du second ordre

Cr-^«)A-i-(T'«)'=o, (4)

et qu'on élimine a entre les trois*^ équations, après que la fonction (p a été particularisée, on a en .r,^, z les équations de l'arête de rebroussement de la surface enveloppe.

Si l'on éUmine a, p entre l'équation ( i ) et ses dérivées par rapport à a et à ^,

X — a=Hf y — p=o,

l'équation résultante z'=R', ou z = ±R satisfait encore à l'équation (a). La surface qur touche à la fois toutes les enveloppées, et toutes les enveloppes comprises dans le système des équations (3), ou l'eut veloppe générale de toutes les surfaces qui satisfont à l'équation (a), se réduit donc au système de deux plans , parallèles à celui des xfy comme cela était évident avant tout calcul.

Si l'on pose, dans les équations (3), ça=aa-|-^, et qu'après la substitution on élimine le paramètre a, il viendra: pour équation résultante

équation d'un cylindre circulaire dont le rayon est R, et dont l'axe, compris dans le plan xy^ a pour équation y=zaX'\'h. Effectivement, nous avons déjà remarqué qu'un tel cylindre est compris dans la famille des surfaces-canaux qui peuvent envelopper l'espace parcouru par une sphère de même rayon , dont le centre mobile décrit une ligne sur le plan xy. Et de même on peut faire mouvoir Taxe du cylindre dans ce plan, de manière que l'enveloppe soit l'une quelconque des surfacescanaux représentées par le système des équations (3), ou l'une quelconque des sphères données par l'équation (i). Pour faire mouvoir le cylindre de manière que l'enveloppe soit une sphère, il suffit de donner à l'axe un mouvement de rotation autour de l'un de ses points pris pour centre fixe.

Le cylindre (5) est l'enveloppée développable dont il a été question plus haut.

262. Pour exprimer que nous établissions une liaison entre les paramètres a, P, nous avons écrit P=(pa,

450 LIVRE IV. — CHAPITRE VllI.

mais il aurait été plus général d'exprimer cette liaison par réquation ^

trf(«,p) = o; (xi)

et alors le système des deux équations ((F)) se serait trouvé remplacé par un système de quatre équations

F(x,/,Z,a,p) = o,^rfa+^rfp = o,

Cette notation plus compliquée est même la seule qui soit aussi complète que la généralité de l'analyse le requiert. Rien n'empêche, par exemple, de supposer que l'équation (vi) prenne accidentellement la forme

(«— A)* + (p— *)» = o, (tiJ.)

h^/c désignant des constantes : auquel cas on en déduit oLz=/iy P=A*, sans qu'il soit possible de tirer de l'équation (xj,) une relation de la forme p=:ça, à moins d'employer des symboles imaginaires. C'est ainsi que, dans le^ système des équations (3), on ne peut pas particulariser la fonction f de manière que ce système représente l'une des enveloppées sphériques, qui cependant sont comprises parmi les surfaces jouissant de la propriété de satisfaire à l'équation (a). Sous ce rapport, on pourrait dire que le système (3) n'a pas la même généralité que l'équation {a), et qu'il faut y joindre, pour le compléter, l'équation générale des sphères enveloppées ï mais ceci ne tient qu'aux limitations introduites par un mode de notation destiné seulement à rendre l'écriture plus concise; et les limitations disparaissent lorsqu'on donne aux notations la généralité qu'elles comportent.

Cette remarque est si simple, que nous laurions négligée si elle ne faisait évanouir une difficulté à la-

quelle Lagrange a semblé attacher de Tiinportance ('). * 263. Puisque l'équation (/*) subsiste pour des enveloppées quelconques y elle subsiste aussi pour la ligne d'intersection de deux enveloppées, et peut être considérée comme une équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de cette ligne. Après qu'on a posé p=f a, les équations des deux enveloppées qui se coupent ne diffèrent plus que par la valeur du paramètre a; et sur la ligne d'intersection les valeurs de Xj y-y z sont les mêmes, mais celles de /?, q varient en raison du paramètre a; ou, en d'autres termes, les deux surfaces ont, en chaque point de la ligne d'intersection, des plans tangents inclinés l'un à l'autre. Mais si la ligne d'intersection se change dans la caractéristique, les deux enveloppées devenant infiniment voisines, l'inclinaison des deux plans tangents s'efface, et l'on a

df i* ^f dp df dq .^,.

^=o,oubien -.^ + ^.5^ = 0; (/)

car les coordonnées x^y^ z, étant prises sur une ligne

commune aux deux surfaces, ne varient pas en raison

de a. D'un autre côté, si l'on différentie par rapport à

a l'équation

dz^pdx + qdy ^ {c)

on a, par la même raison ,

d(3L doL -^ ^ ^

L'élimination de ~7->~r entre les équations (/') et (c) donne

[^) Leçons sur le calcul des fonctions ^ a* édit., p. 372 et ^^74.

équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la caractéristique, en même temps qu'elles satisfont à l'équation (/*).

Dans l'exemple qui nous occupe, on trouve

et par suite

pdjr — qdx = o ;

ce qui exprime que les caractéristiques des surfaces-ca» naux sont en même temps les lignes de plus grande pente de ces surfaces [126}.

Les équations (c) et (/* ") appartiennent à une caractéristique quelconque, placée sur une enveloppe quel* conque; et les quantités/'^ q, qui entrent dans ces équa* tions, spécifient pour chaque point (^, j^, z) la caractéristique menée par ce point. Donc, si l'on élimine /?, q entre les trois équations (/*), (c) et (y^'), l'équation résultante appartient à la courbe qui est touchée par toutes les caractéristiques, ou à l'arête de rebroussement de la surface enveloppe.

On trouve ainsi que les coordonnées de l'arête de rebroussement des surfaces-canaux doivent satisfaire à l'équation différentielle

z Cette arête de rebroussement peut d'ailleurs se réduire à un point, ou même devenir imaginaire. Posons, par exemple,

l'équation (4) se i*éduit à^=o; et de la seconde ëqua-

tion (3) qui devient alors

X l/^R,* — a* — aj z=z o ,

on tire aussi x=o; enfin ces valeurs de x et de ^, substituées dans la première équation (3), donnent pour la valeur correspondante de l'ordonnée z^ JB = ±1/R» — R.S de sorte que Tarête de rebroussement se réduit à deux points situés sur Taxe des z, dans le cas de R > R^ , à un seul point (qui est l'origine des coordonnées) pour R=R^,et finalement devient imaginaire si l'on a R < R^, auquel cas la surface décrite est un anneau proprement dit [236].

264. Montrons maintenant comment on peut déterminer la fonction arbitraire <p,de manière que la surface assignée par le système des équations (CF)) passe par une courbe donnée

f(jr,j,^)=o, (f)

Pour cela il faut que la tangente à cette courbe se trouve constamment dans le plan tangent à l'enveloppée .et à l'enveloppe au point {x, y^ z). Soient