X.—z=p i!^—x) -f- q (iri— j

l'équation du plan tangent, et

les équations de la tangente à la courbe (f , f ) : /?, q sont des quantités données en fonction de ;r,j^*, z, a, tp a, au moyen de la première équation ((F)); tandis que

-i-y -4- sont des fonctions de j; , / , z fournies par la

différentiation des équations (f), (f,). Cela posé, la condition que l'on vient d'énoncer établit entre x-t /, z, a, <p«

une liaison exprimée par Tëquation dx dr

Après qu'on en aura chassé x, /, z au moyen de l'équation de l'enveloppée et de celles de la courbe , elle deviendra de la forme

tJ(a, <pa)=: o , (tJ)

et déterminera par conséquent la fonction f .

Si cette fonction devait être assignée d'après la condition que lenveloppe correspondante touchât la surface

(f), on tirerait de (f) les valeurs de ^ ^ t- en x^jj z,

et l'équation {d) se trouverait remplacée par dz dz

les valeurs de p^q étant censées données, comme tout à l'heure, en fonction de a:,/, z, a, ça, par la différentiation de l'équation de l'enveloppée. On joindrait ensuite l'équation de l'enveloppée aux équations (f)et {e\ et l'on éliminerait x^jr^ z entre ces quatre équations, ce qui donnerait la relation cherchée (t*) entre a et <pa.

La fonction ç déterminée, on aura par la différentiatioti la fonction 9', et l'on pourra substituer dans les équations ((F)) les valeurs en a de ça, <pa, puis éliminer a, afin d'avoir en x, /, z l'équation de l'enveloppe cherchée; ou (ce qui revient au même) on peut joindre à l'équation (trf) sa dérivée

rftrf rfcJ , ,,^

doi -^■■^•^« = ^' . i^O

et procéder d'une manière quelconque à l'élimination de a, <pa, <pa entre les quatre équations ((F)), (trf), (trf'). 265. Proposons-nous comme application de détermi-

ncr la fonction <f qui entre dans le système des équations (3), de manière que la section de la surface du canal par le plan xz soit l'ellipse

réquation (d) deviendra

et Ton aura pour l'équation (%i)

On peut remettre ^ à la place de 99 : a,p désignant alors les coordonnées courantes , parallèlement aux axes des ^et des/, de l'axe curviligne ou de la ligne médiane du canal dans le plan xy. Selon qu'on aura a < ou > ^, l'équation de cette ligne*

appartiendra à une ellipse ou à une hyperbole. Nous supposons ^ < R, afin d'éviter la difficulté qui naîtrait de ce que la courbe (6) ne resterait pas comprise dans toute son étendue entre les deux plans z=d=R qui \v mitent les surfaces données par le système des équations (3).

Il est d'ailleurs évident que la courbe (6) ne doit déterminer la courbe (7) que dans la portion de son cours comprise entre les droites p=±R; ou, en d'autres termes , que l'intersection de la surface enveloppe par le plan xz ne change pas , quel que soit le tracé de la ligne décrite par le centre de la sphère enveloppée sur le plan xj-f dès que le centre de la sphère est à une distance, de l'axe des x plus grande que son rayon. Ainsi Téqua-

tion (6) ne peut donner la fonction arbitraire 9 dans toute rétendue de son cours qu'autant qu'on admet que cette fonction 9 est algébrique et conserve dans tout son' cours la même expression algébrique^ remarque analogue à celle que nous avons déjà faite à l'occasion des surfaces de révolution [^56].

266. On peut admettre que l'équation d'une enveloppée contient trois paramètres arbitraires a, P,y, et devient de la forme

F(:r,7, ^,a,<pa,^a) = o, après qu'on a posé pz=:ça, Y=^j;a. Le système de cette équation et cte sa dérivée

dF dF , dF ,,

appartient à un ordre de surfaces enveloppes , dont chacune est déterminée individuellement après qu'on a assigné les fonctions <p , 4^. Il n'y a pas plus de difficulté à supposer que l'équation de l'enveloppée renferme un nombre quelconque de paramètres variables j liés entre eux d'une manière arbitraire : mais nous nous bornerons à considérer le cas où l'enveloppée est un plan en mouvement dans l'espace suivant une loi quelconque.

Soient donc

z=:a-f-:r<pa+7{pa {g)

l'équation du plan mobile , et

I + ar (p'a +7^'a = o (g')

sa dérivée par rapport à a : le système des équations {g\ {g') est propre à représenter une surface développable quelconque. On en déduit /?=(pa, y =^a, et par suite

qz=z^{z—px—qy) , ^ (A) q=^{z—px—qy) , (A.)

ou

ce qui mèue aux équations déjà trouvées [168 et %k^\ pz=Uq, (i) rt — ^ = o, (k)

* 267. La caractéristique donnée par le système (^), {g^t pour chaque valeur de a, est une ligne droite. On aura [t263] une équation différentielle de cette caractéristique, si Ton différentie Téquation {i) en y regardant p, q comme variables, ce qui donne dp'=iVÎq. dq^ et si Ton chasse dp^dq zm moyen de Téquation

dpdx -f- dqdyz=,o , d'où pdj — Wq elx = o . (J)

d'y L'équation ( /) exprime que le rapport -4^ est fonction

des seules quantités /?, q; ce qui résulte en effet de ce que le même plan touche la surface développable en tous les points de la caractéristique. Cette équation renferme un signe de fonction arbitraire; mais, en s'élevant au second ordre , on aurait une autre équation différentielle de la caractéristique, où le signe n nVntrerait pas. En effet , puisque l'équation {Ji) appartient à toute surface développable (quoique les fonctions Py s, t varient d'une surface à l'autre) , lorsque deux surfaces développables se touchent suivant une caractéristique commune aux deux surfaces , on doit avoir , pour les points situés sur cette ligne ,

tdr — asds +rdt^=o . (*')

En vertu des équations (^), (g^'), le plan tangent ne change pas avec les coordonnées x, jy, z, pour les points situés sur la caractéristique , d'où

dp == rda: -f- sdy = o , dq =z sdx + tdy = o ,

et, par suite d'une nouvelle différentiation ,

drdx + dsdy = o , dsdx + dtdy = o . Au moyen de ces deux dernières équations on chassera de [k') les différentielles rfr, ds, dtj et il restera, pour

l'équation différentielle delà caractéristique,

rrf^c* + isdxdj + tdy^ == o , {ni)

ou plus simplement , en vertu de l'équation {K) , \/r . dx + Vl . rfj = o .

Pour obtenir les équations de l'arête de rebroussement

de la surface développable, il faut joindre aux équations

(^), [g^ la dérivée du second ordre

et éliminer ensuite a. On a une équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la même ligne, en éliminant/?, q entre les équations (/) , (/), auxquelles on joint dz = pdx -j- qdj. Ceci conduit à une équation 11^ {dx, dy^^ rfz) = o : la fonction H, ne pouvant être déterminée qu'après qu'on a assigné la fonction n dont elle dérive.

268. Proposons-nous maintenant de déterminer les fonctions 9 et ^, de manière que la surface développable passe par deux courbes données

f.(x,j,^)=o; (f.)i ^«'^'^ f.(x,r,z) = o . (fol ^^' '^^

Un calcul identique à celui du n^ 264 » répété pour chacune des deux courbes directrices, donnera deux équations de la forme

lrf,(a, <pa , 'j/a) = o , (xi,) xS^^a , <pa , ^/a) = o ; (trf.)

et en les résolvant on aura le» fonctions ç et ^ qui pourraient être substituées dans les équations (g), (g^); de manière qu'il ne restât plus qu'à éliminer a pour avoir en Xf y^ z l'équation de la surface développable demandée. Mais, pour éluder la résolution des équations (xiJ,) , (tiJa) , on peut y joindre leurs dérivées

et procéder à rélimination des cinq variables a, 9a, 9'a, 4;a , fa entre les équations {g) , {g) , (trfj , (tïJ,) , (-cJ' J et (xiJ'.).

Si les fonctions 9 , ^ devaient être déterminées d'après la condition que la surface développable touchât les deux surfaces (^), (J^) > on répéterait pour chacune de ces surfaces le calcul indiqué dans le n^'cité; et l'on arriverait à deux équations en :r,^, z qui pourraient être prises pour les équations ( f ) , ( f, ) ; après quoi le calcul s'achèverait comme dans le premier cas.

269. On sait que , lorsqu'un corps opaque est éclairé par un corps lumineux de dimensions finies, les deux nappes d'une surface développable, tangente aux surfaces des deux corps opaques et lumineux, limitent dans l'espace l'ombre et la pénombre. Comme cette application donne plus d'intérêt au dernier problème dont nous venons d'indiquer la solution, nous ne négligerons pas quelques simplifications que l'on peut apporter à la méthode dans ce cas particulier.

L'équs^tion du plan qui touche la surface (/j) au point ( .r, , J^, , 2 J et la surface (/, ) au point \x^ , 7, , z,), est indifféremment

ou

Pt 9 Çt étant donnés en fonction de a:, , ^, , z, par la différentiation de l'équation

f^{^nh^^^)=0 , (/,)

trémité fixe Tun quelconque des points de la droite élevée par le centre du cercle, perpendiculairement à son plan. On énonce ce fait en disant que chaque point de la droite estun pôle du cercle et de tous les cercles concentriques situés dans le même plan. La droite à laquelle les points appartiennent prend le nom de ligne des pôles. Passons de la considération du cercle à celle M'une courbe plane quelconque. Traçons la développée de la courbe dans son plan , et construisons la surface cylindrique dont cette développée serait la section droite [248] : un point quelconque v de la génératrice (jlv , qui passe par le point [jl de la développée , correspondant au point m de la développa ute^ peut être considéré comme le pôle du cercle osculateur en m , dont un arc infiniment petit se confond avec l'arc infiniment petit mrn^ de la courbe développante. La droite awv touche le, cylindre en V j car sa projection /TZfx sur le plan de la développée touche la développée en [jl. Si l'on fait mouvoir le plan tangent dans lequel elle est comprise, de manière qu'il ne cesse pas de toucher la surface , le prolongement de la droite /wv vient rencontrer les génératrices consécutives en des points v,, v,, V3, correspondant aux

points [jLi, [JL, , [JL3,. . . . de la développée, et aux points m, , /w, , /W3 , . . . . de la développante. On trace ainsi sur la surface du cylindre une courbe vv,V2V3. . . . dont les tangentes font un angle constant avec les génératrices, et qui se transformerait en ligne droite si la surface cylindrique était étalée sur un plan. Or, les points Vi,v», Va^' • • sont des pôles des cercles osculateurs de la développante aux points m, , m, , ma ... ; et les arcs infiniment petits, pris sur ces cercles, se confondent avec les arcs infiniment petits de la courbe développante.

DES DJ^VELOPPl^ES HN GËiSl^RAL. 463

Donc les arcs mm^^mjn^y mjn^^. . . peuvent être successivement décrits , d'abord du point v comme pôle avec le rayon vm , puis dû point v^ comme pôle avec le rayon v,/72, , puis du point v, comme pôle avec le rayon v,/??, , et ainsi de suite. Donc, si Ton développe un fil préalablement enroulé sur la courbe vv,v,V3. . • (le prolongement rectiligne de ce fil aboutissant à la développante en//2, et se trouvant perpendiculaire à l'élément mni^^ l'extrémité du fil décrira d'un mouvement continu la courbe plane mm^m^m^ . . . . sans cesser d'être perpendiculaire à l'élément actuellement décrit. Par conséquent la ligne à double courbure vv,v,V3.... peut, aussi bien que la courbe plane [jl[jl,[jl,[jl3 . . . ., être regardée comme une développée de la courbe plane /w/Wi/Wj/zis . . .

On a pu mener la droite mv de manière à rencontrer en un point quelconque et sous un angle quelconque la génératrice qui passe par le point ^ : une courbe plane a donc une infinité de développées à double courbure^ toutes situées sur la surface cylindrique qui est le lieu des pôles de la développante, et qui a pour section droite la développée plane. Toutes ces développées ont la propriété caractéristique de couper les génératrices sous un angle constant, et de se transformer en lignes droites quand on étale la surface cylindrique sur un plan.

27 1 . Considérons enfin une ligne quelconque à double courbure mmjnjrii. . . ainsi que la surface développable qui a pour génératrice la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins. Le plan normal en m touche cette surface suivant une génératrice p.v , le point \L étant le centre de courbure de la ligne donnée^ qui correspond au point m. Par le point m menons arbitrairement dans le plan normal à la courbe et tangent

à la surface une droite qui touche la surface en un point quelconque v de la génératrice p. Si l'on fait mouvoir le plan dans lequel cette droite est comprise , sans qu'il cesse de toucher la surface développable et d'être normal à la courbe [ftt)posée, le prolongement de la droite rm viendra rencontrer les génératrices consécutives aux points V,, V,, V3,. . . et s'appliquer sur la suiface suivant une courbe vv,v,V3 .... qui jouira inversement de la propriété de se transformer en ligne droite lorsqu'on étalera la surface dével(^pable sur un plan. Les points Vi,v,, V3 . . . • sont les pôles des cercles osculateurs de la courbe proposée aux points correspondants /w,, /w,, /W3,. . . . qui ont pour centres de courbure (*,,(*,, fx.^, — , et auxquels se rapportent les génératrices v.fjij , v,[jl, , V3[jL3... D'où il faut conclure , comme dans le cas particulier envisagé d'abord, que la courbe vv,v,V3. ... est une développée de la proposée. On a pu choisir arbitrairement le point initial v sur la génératrice p ; et ainsi la courbe proposée a une infinité de développées , toutes situées sur la surface développable, définie en commençant, et que, pour cette raison, nous appellerons la surface des pôles. Le caractère distinctif de toutes ces développées est de se transformer en lignes droites lorsque la surface déve-^ loppable s'étale sur un plan.

On a vu [^33] que la ligne des centres de courbure, quoique située sur la surface des pôles, n'est pas une développée, à moins que la proposée ne soit plane.

273. Pour avoir en £,7), X^y l'équation de la surface des pôles, il faut chasser x^y^ z et leurs différentielles des deux premiers ordres , des équations

(Ç— :f) dx 4- (r— /) dy 4- (X^—z) dz^o ,

i^—x) d^x + (rj— 7) d^j + (C — z) d^z — ds^=:o ,

DES D£VELOPPjâ£S EN OJÈN^RAL. 465

au moyen des équations de la courbe proposée et de leurs dérivées des deux premiers ordres [aSal. L'équation (g) du n"" suivant exprime que la tangente à la développante au point (x, jr, z) coupe à angles droits la tangente à la développée au point correspondant (Ç, y), C) : ce qui résulte d'ailleurs, sans calcul, de ce que le plan normal à la développante en {x, y, z) touche la surface des pôles suivant la génératrice passant par le point(£,y),Q.

Si les* variables Ç, », ?; désignent plus spécialement les coordonnées courantes de l'une des développées, il faudra qu'elles satisfassent aux équations {a) , et , de plus, qu'elles soient liées par la condition que le rayon mené du point (Ç, y) , C ) de la développée au point correspondant {xyj, z) delà développante, touche la développée. Cette condition s'exprime par la formule ^ dy\ dl^

\-X — y,^y — ^Zr^' (6)

Lorsqu'on a chassé x, jr, z et leurs différentielles des équations (a) et {b) , au moyen des équations de la développante, il reste deux équations en £, ij , J^, e^, ^ ^ ^^ communes à toutes les développées. L'intégration de ces équations amènerait deux constantes arbitraires dont les valeurs particularisent chaque développée [i 63 et i65]. 274. Prenonspourdéveloppante l'hélice définie par les équations {h) du n" 234: les équations {a) deviendront

îsinç— T|cosip=a(Ç— aRy),Çcos<p+i,sinip=:a»R,(c) et elles donneront

dou

Cette valeur de <p , substituée dans l'équation (c), donne pour l'équation de la surface des pôles,

• a-R+(cos^+nsinA-)cosv/^^^-i

= ±(^ eos^-Tlsin^) sin v/!j^^,.(rf)

On a vu [ a35 ] que l'arête de rebroussement de cette surface développable, identique dans le cas actuel avec la ligne des centres de courbure de la développante, est une autre hélice de même pas , ayant le même axe , située sur la même surface hélicoïde gauche [^53] , et dont les équations en Ç, ti, ÎI sont

Çs=a — ir'Rcos(p 5 Yjx= — a'Rsinç , î=aR9 . (ti) On donne à la surface développable qui a pour arête de rebroussement une hélice, le nom Ae surface hélicoïde développable.

Le radical qui entre dans l'équation {d) sous les signes sin et cos , devient imaginaire quand on suppose

ou, d'après les équations ( yi) , quand on prend le point ( Ç , Yi , ^ ) dans l'intérieur du cylindre sur lequel s'enroule l'arête de rebroussement de l'hélicoïde développable. Or^ le sinus d'un arc imaginaire est imaginaire , tandis que le cosinus du même arc se change en exponentielles réelles [75]. Donc la surface hélicoïde développable ne pénètre pas dans rintérieur du cylindre sur lequel s'enroule son arête de rebroussement, et toutes les sections planes de cette surface éprouvent un rebroussement,. aux points où elles rencontrent Tarête.

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