DE L^ TRANSFORMATION DES FONCTIOICS

arithmétiques ou algébriques, comme si Ton avait , par eiemple, à trouver la valeur de x qui satisfait à Té-

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ridée qui se présentera naturellement, sera de trouver , s'il est possible, une fonction algébrique f.r qui s'écarte peude/r^ au moins dans les limites entre lesquelles on sait que doit tomber la racine cherchée, et de substituer dans réquatiou proposée t^x 9l fx. En général, le but Inné semblable substitution est de rendre praticables, ou des transformations algébriques qui doivent condoire à des formules générales , ou des opérations de calcul arithmétique, si l'on se propose de déterminer des valeurs particulières.

Si Ion tient à ce que la fonction substituée se rapproche de l'autre , dans toute la portion de son cours que Ton considère, il faut évidemment qu'il n'y ait pas incompatibilité entre les formes essentielles de la fonction substituée et celles de la fonction qu'on remplace. Par exemple, si la fonction à remplacer est périodique , on admettra, au moins jusqu'à plus ample examen, la possibilité de la remplacer par une fonction telle que

/ = A sin {mx+ n), À de sa nature, est périodique; mais il serait manifestaient impossible que la fonction proposée se rapprockât, dans toute l'étendue de son cours, d'une autre qui 'orait lune des deux formes

<^(]ui serait constamment croissante ou décroissante, s^lon le signe de m.

On appelle interpolation l'opération par laquelle on

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détermine une courbe ^==<pa:, assujettie à avoir un certain nombre de points communs avec la courbe y z=ifx , et qui doit s'en écarter d'autant moins entre les points extrêmes , que le nombre des points communs intermédiaires est plus considérable. Nous entrerons, par la suite, dans quelques détails sur les procédés d'interpolation : pour le monlent, il suffit de concevoir qu'on assujettira la courbe dont (fx est l'ordonnée à passer par un point donné (oTo, ^o)> en posant l'équation

c'est-4i-dire, en liant par une équation de condition les paramètres ou coefficients indéterminés que doit comprendre l'expression mathématique de la fonction <p ; et plus on aura introduit dans cette expression de paramètres arbitraires, pourvu qu'on ait un nombre égal de points donnés sur la courbe y"=zfxj plus les courbes dont les ordonnées sont <p.r et fx approcheront de la coïncidence, dans la portion de leur cours que l'on considère.

De là, pour le dire en passant , la difficulté que l'on éprouve souvent à fixer, par le contrôle de l'observation, la valeur de certaines formules de physique mathématique : car si l'on donne, pour représenter la loi d'un phénomène, l'équation ^ = f a: , dans laquelle la fonction f renferme beaucoup de paramètres arbitraires, et qu'on détermine ces paramètres par la condition de satisfaire à des observations qui donnent autant de systèmes de valeurs correspondantes pour ac et y qu'il y a de paramètres , il devient probable par cela seul que des systèmes de valeurs intermédiaires satisferont à très-peu près à la même équation, bien que la véritable loi des phénomènes soit exprimée par une