D£ LA TRAKSFORBIATION DES FONCTIONS

fonction /jr^ différente de (fx. Si donc, à l'expression analytique dont on a fait choix pour la fonction f , se rattachait rétablissement d'une théorie physique, cette théorie ne serait pas suffisamment justifiée par l'accord (|oe Ton trouverait entre l'observation et le calcul, pour les valeurs intermédiaires des variables x, jr.

S'il y avait incompatibilité entre les formes des fonctions/* etfff l'une, par exemple, étant périodique et l'autre constamment croissante ou décroissante, le calcul ea avertirait eu assignant aux paramètres des valeurs ioEnies, ou imaginaires, ou en laissant ces valeurs indéterminées.

22. Ou conçoit qu'il peut être utile de remplacer de la sorte, non-seulement des fonctions empiriques qu'il serait impossible de soumettre autrement au calcul, mais des fonctions transcendantes ou même algébriques, l'une expression compliquée, par d'autres fonctions d'une forme plus simple, ou dont la forme s'adapte mieux à la nature des combinaisons analytiques dans lesquelles elles doivent entrer. C'est ainsi, pour prendre la comparaison la plus élémentaire, qu'on remplace une fraction ordinaire telle que y, par une fraction décimale 0,6666.... dont l'équivalence n'est qu'approchée, à quelque décimale que l'on s'arrête , mais dont l'expres- ^•on, quoique plus compliquée au fond, se trouve mieux appropriée à la nature des opérations de notre* arithmé- ^^ décimale.

Dans ce cas encore il est aisé de comprendre que , lorsque la fonction substituée n'aura pas une forme in- '^mpaiible avec celle de la fonction proposée, plus il ^trera de paramètres arbitraires dans son expression analytique , plus on pourra rapprocher les deux fonc-

lions Tune de l'autre, en fixant convenablement les valeurs de ces paramètres arbitraires.

Mais, d'un autre coté, on ne peut multiplier les paramètres sans compliquer la fonction substituée, et perdre de plus en plus les avantages attachés à la substitution. Voici l'artifice imaginé par les analystes pour éluder autant que possible cette difficulté.

Il consiste à substituer à la fonction proposée une somme de fonctions analytiques de même forme, et qui diffèrent les unes des autres par les valeurs de certains paramètres. Ainsi, au lieu de poser, par exemple,

jzzzAx*", ouj^=Asinwx, pour représenter la fonction /=y!r , on posera

^ = Ao + A, X -+- A, X* + A3 x^ + etc. , ou bien

j^ = A, sin a; + A , sin %x 4- A3 sin Zx + etc. ; et ces suites de termes, que l'on appelle séries^ pourront être considérées comme équivalentes à la fonction proposée fx , si , en prenant un nombre suffisant de termes de la série , à compter du premier, on obtient des valeurs qui diffèrent d'aussi peu qu'on veut de la valeur y^. Pour cela il faut concevoir nécessairement la série prolongée à l'infini; car si l'on obtenait la valeur exacte de fx au moyen d'un nombre fini de termes, on «n'aurait fait que développer l'expression analytique de fx; on ne l'aurait pas transformée en série, dans le sens qui s'attache à cette locution. Ainsi , les équations identiques

( sin .x-y = ô sin ^ 7, sin 3a: 4- -77 sin 5j

^ o 10 ib