DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS

u'iodiquent pas des transformations en séries, mais de simples développements.

23. Les séries les plus simples sont celles qui procèdent suivant les puissances entières et ascendantes de la variable. Mercator et Newton ont été conduits à des séries de cette forme; le premier en appliquant la règle de la division à la fonction fractionnaire

et en ordonnant les termes successifs du quotient suivant les puissances de x; le second en appliquant la rède de l'extraction des racines à la fonction irrationnelle

et en ordonnant de même les termes obtenus successivement à la racine. Bientôt Newton et Leibnitz trouvèrent des développements de même nature pour les fonctions transcendantes alors connues ; et depuis cette époque la transformation des fonctions en séries a été • l'un des points capitaux de l'analyse.

Cette transformation s'opère dans deux buts qui correspondent aux deux faces sous lesquelles on peut envisager tout le système des sciences mathématiques. Tantôt on n'a en vue que de démontrer certaines lois, certaines relations indépendantes des valeurs numériques des quantités , et pour cela on met les fonctions sous forme de séries appropriées à la démonstration qu'il s'agit de donner : alors peu importe le nombre de termes qu'il faut prendre dans la série pour obtenir une valeur suffisamment approchée de la fonction que la série remplace; il suffit qu'on puisse concevoir, dans tous les cas, la série assez prolongée pour que la somme des ter-

40 LIVRE I. — CHAPITRE If.

mes négligés tombeau-dessous de toute grandeur donnée.

Dans d'autres cas, au contraire, on veut effectivement calculer des valeur numériques au moyen des séries , et alors il est nécessaire que 1 on puisse obtenir une approximation suffisante sans avoir besoin de calculer un trop grand nombre de termes de la série, ce qui conduirait à un travail pénible et quelquefois impraticable.

24. On appelle séries convergentes celles qui satisfont à la condition que la somme de leurs termes converge de plus en plus vers une valeur limite, à mesure que l'on prend un plus grand nombre de termes : cette limite se nomme aussi la somme de la série. Pour que la transformation d'une fonction en série soit légitime, il faut que la série soit convergente , et qu'elle ait pour somme précisément la fonction transformée. Réciproquement, pour qu'iine série d'un nombre infini de termes dont la loi est donnée, et dans lesquels entre ia variable X, soit censée déterminer une fonction At Xy il faut évidemment que cette série converge vers une valeur limite , ou qu'elle ait une somme : soit que cette somme puisse s'exprimer en fonction de x, à l'aide des signes algébriques ou transcendants usités (auquel cas on dit que la série a été exprimée \fowj' forme finie) y soit que, dans le cas contraire, on ne puisse en calculer numériquement la valeur, pour chaque valeur numérique de .r, que d'une manière approchée, à l'aide de la série même; et, dans ce cas, la fonction exprimée en série constitue une transcendante nouvelle, non réductible aux transcendantes connues.

Une série peut n'être pas convergente dès ses premiers termes ; il suffit quelle finisse par converger (quelque éloigné que soit dans la série le terme oîi la

DE LA TRANSFORMATIOir DBS FONCTIONS. 41

convergence commence) pour qu'on doive la considérer l comme représentant une fonction déterminée qui en est la somme , et pour qu'on puisse substituer la série à la fonction dont elle dérive, ou, réciproquement, la fonction sommatoire à la série , dans toutes les combi- i naisons du calcul qui n'ont point pour objet la déter- 1 mination numérique des valeurs. Mais s'il s'agit de ; calculs numériques, on n'emploie guère que des séries ; qui convergent avec rapidité dès leurs premiers termes, : du moins pour les valeurs numériques que l'on veut assigner aux quantités variables qui entrent dans les séries. Une convergence qui ne commencerait qu'après un grand nombre de termes, ou qui ne procéderait (ju'avec une grande lenteur, serait , pour un tel but , évidemment illusoire.

A proprement parler, on ne devrait appeler diifer^ gentes que les séries pour lesquelles les sommes que ion obtient, en prenant successivement un nombre de termes de plus en plus grand, vont en divergeant, en ce sens que la différence d'une somme à la suivante, au lieu de tendre de plus en plus vers zéro, prend une valeur numérique de plus en plus grande. Telle est la série

I -h .r + .r* -h o:^ -4- etc. , pour les valeurs de x numériquement plus grandes que ruuité. Mais on est dans l'usage d appeler divergente , pour plus de simplicité , toute série qui n'est pas convergente et qui n'a pas de somme. Ainsi, l'on dira encore que la série ci-dessus est divergente quand on assigne à x la valeur — i , auquel cas les sommes consécutives prennent alternativement les valeurs i et o.

25. Une fonction /a: étant développée en série, appelons (p, .r la valeur numérique de la différence ou du

reste qu'on obtient, quand on retranche de f x la somme des n premiers termes de ia série. Si la série est convergente et qu'elle ait pour somme ^j::, (p. o: convergera indéfiniment vers zéro pour des valeurs croissantes de l'indice riy et cette quantité pourra être rendue aussi petite que Ton voudra, moyennant qu'on prendra pour n un nombre suffisamment grand. Au contraire , si la série est divergente, ç„^ ira en croissant avec /ï, ou du moins ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n. Mais il peut arriver encore, et il arrive fréquemment que f^^x aille d'abord en décroissant, au point de ne conserver qu'une valeur très-petite et négligeable pour une valeur convenable de l'indice n; puis, que pour des valeurs plus grandes de l'indice, f^^pc commence à croître, et continue ensuite à prendre des valeurs de plus en plus grandes. C'est le cas où la série, après avoir offert d'abord les caractères d'une série convergente, finit par devenir divergente; et quelques auteurs qualifient de semi-convergentes les séries qui tombent dans cette catégorie. Il est clair que la substitution d'une telle série à la fonction dont elle dérive sera permise, comme moyen d'approximation, toutes les fois que l'on pourra prouver que le reste ^^x devient négligeable pour des valeurs convenablement choisies de /ï, et que l'erreur commise, en négligeant ce reste, n'entraîne, dans les résultats des calculs subséquents, que des erreurs pareillement négligeables à cause de leur petitesse.

Dans les diverses branches des mathématiques appliquées, il s'en faut bien que l'on procède toujours avec cette rigueur qui restreindrait singulièrement les ressources tirées de l'emploi des séries. Lors même que