I>£ LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS

Ton n'opère que sur des séries dont la convergence est démon trce, il n'est pas toujours possible d'assigner des limites à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque. Ce sont là des imperfections dans la solution des problèmes, que les efforts réitérés des géomètres ont pour but , et quelquefois pour résultat de faire disparaître, autant que la complication de ces 'problèmes le comporte.

26. Une série dont tous les termes ont le même signe, reste convergente ou divergente dans quelque ordre que ses termes se succèdent; et si elle est convergente, la somme ou la valeur limite vers laquelle la somme de ses termes converge , reste aussi toujburs la même. Au contraire, une série dont les termes successifs se détruisent en partie par l'opposition de leurs signes, peut être convergente ou divergeute, selon l'ordre de succession des termes ; et quand elle reste convergente, la somme peut varier avec l'ordre des termes. Lorsqu'une série

r = Jo H- jr. -+- ^. + etc. , est entremêlée de ternies positifs et négatifs, et qu'en les prenant tous de même signe on forme une nouvelle série convergente, il faut que la série ^ soit elle-même convergente. En effet , désignons par (f/ la somme des termes positifs contenus dans la série ^, à partir de/^, et par <p' ,, , la somme arithmétique des termes négatifs , de sorte qu'on ait

?» =/» + 7»i+. + etc. = ç^ — (p„" . Dans la sérieforméedesmêmes termes, mais tous pris avec le même signe, par exemple avec le signe positif, on aurait

et puisque cette dernière série est convergente, il faut

que la somme ç,' -\- ç^" tombe au-dessous de toute grandeur donnée^ pour une valeur convenable de Tindice n : donCj à fortiori f la différence (fj — 9/' tombeau-dessous de toute grandeur donnée, ce qui établit la convergence de la série ^.

Une série est convergente lorsque ses termes, à partir d'un certain rang, ont des signes alternatifs , et que leur valeur numérique va en convergeant indéfiniment vers zéro. Soit en effet

on pourra écrire

% =Jn — fjn+i — rn+O— (j^n+3 " .rn+4)— etC. ,

de manière à ce que tous les binômes compris entre parenthèses soient positifs. On aura donc 9, <J^n\ et puisque j", peut être pris aussi petit qu'on veut, il en sera de même de 9,,.

Si tous les termes de la série jr, à partir d'un certain rang, sont de même signe, cette série sera convergente ou divergente, selon que le rapport -^^ conver-

Xn

géra vers une limite < ou > que 1 , pour des valeurs croissantes de n .

En effet , désignons par a un nombre compris entre l'unité et la limite du rapport dont il s'agit : on aura pour a < I , et pour une valeur convenable de Tindice/i,

jr«+x < ajr„ , /„+. < a j„+, , jrn+3 < a j„+. ,*

et, à fortiori y

/n+a <aV»iJn+3 <a5^„,

Donc

ou