DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS

donc (fn converge indéfiniment vers zéro , en même temps que jr» .

Dans le cas de a > i , on aurait

?« > rn ( ï + « + a' + a' + ) ;

et puisque le second membre de Tinégalité peut évidemment surpasser toute grandeur donnée, il en est de même de (p„ .

On démontrerait de la même manière que la série^ ^ dont tous les termes, à partir d'un certain rang, sont supposés de même signe, est convergente ou divergente, selon que la racine

converge vers une limite < ou > que i , pour des valeurs croissantes de n^ j-^ désignant la valeur arithmétique du terme du rang n (').

27. La théorie des séries forme une branche de Tarithmétique universelle ou de l'algèbre, non moins importante que la théorie des équations , et qu'il faut étudier dans les mémoires ou traités spéciaux. Nous ne l'envisageons ici que dans ses points de contact avec la théorie des fonctions , et nous terminerons par les observations suivantes.

De toiême que, dans le cours d'un calcul algébrique, on opère souvent sur des quantités imaginaires pour arriver plus brièvement à des relations entre des quantités réelles, après que les signes d'imaginarité se sont détruits les uns les autres , de même les analystes n*out fait pendant longtemps aucune difficulté d'opérer sur des séries divergentes , de manière à arriver finalement

(') Voyez, pour plus de dëveloppement, le Cours d'analyse al- Çébnqae de M. Cauchy, l" partie, chap. vi.

à des séries convergentes ou à des relations entre des quantités exprimées sous forme finie. Mais on a été amené ensuite à reconnaître que ce mode de procéder, fondé seulement sur l'analogie et sur un sentiment vague de la généralité de l'algèbre , peut induire en erreur , et on ne le regarde plus comme rigoureux.

Soit néanmoins F (.r, a) une fonction de la variable X et d'un paramètre arbitraire a, qui se trouve exprimée au moyen d'une série dont le terme général est ^„(^, a), et que nous désignerons par 2. v„(j;,a), le signe indiquant une somme de termes en nombre infini. Supposons que cette série ne cesse d'être convergente que pour certaines valeurs particulières du paramètre a, par exemple poura = o : en posant oc = o dans l'équation

¥{x, a) = 2 .1ir„(^,a), on lui donnera la forme

équation inexacte, ou plutôt qui n'offre aucun sens précis, puisque, par hypothèse, S . ^„(j;) est une série divergente. Il peut se faire toutefois que si l'on remplace, dans le cours de certaines opérations de calcul, la fonction F (:i:, a) par son développement en série S.^nC-^i «)> on arrive à des résultats indépendants de la valeur du paramètre oc, et à des séries convergentes d'où oc a disparu. Il est clair que l'emploi immédiat et transitoire de la série divergente 2 . ^j;„ (a;) à la place de /(.r), dans le cours des mêmes opérations, conduira à des résultats exacts.