Étant données deux fonctions
OQ peul considérer une troisième fonction u qui dépende d'une manière quelconque des fonctions /, Y [ i o], Je manière qu'on ait
u= (p(jr, Y)=<p(/r, Fx).
Examinons en particulier le cas où l'on poserait
OU bien
Pour faire tout de suite l'hypothèse la plus générale, OQpeut admettre que les fonctions^ F, mathématiques ou empiriques, représentent les ordonnées de deux courbes actuellement tracées , et par le moyen desquelles il faut tracer la courbe qui a pour ordonnée u. Sur la j^. 10, MN, PQ, RS sont censées être les courbes qui Oflt respectivement pour ordonnées /, Y et w.
Lopération ne saurait offrir de difficultés tant que les ordonnées /, Y, correspondantes à la même abscisse h ont des valeurs finies, positives ou négatives, diffé- •^tes de zéro. Si l'ordonnée^ devenait nulle, tandis
48 LIVRE r. CHAPITRE III.
que Y conserverait une valeur finie, Fordonnéee/ serait nulle aussi. Ainsi, sur la figure, les courbes MN, RS coupent Taxe des abscisses eii un même point A.
Si l'ordonnée Y s'évanouissait, sans que jr devînt nulle, la fonction u éprouverait une solution de continuité en passant par l'infini. Menons par le point B où la courbe PQ coupe l'axe des abscisses, une droite GK parallèle aux ordonnées : cette droite sera une asymptote commune aux deux branches RS , R'S' de la courbe qui a pour ordonnée u.
Supposons maintenant qu'il arrive que les deux foncûoTïsfXy ¥x s'évanouissent à la fois, ou que les deux courbes MN, PQ {Jig. ii), coupent en un même point A l'axe des abscisses : l'expression de u se présentera sous la forme 5, qui est en algèbre le symbole de l'indétermination, et l'on ne pourra pas calculer directement l'ordonnée AK de la courbe RS , correspondante à l'abscisse OA. Cependant la courbe RS rencontre nécessairement la droite AKL, menée par le point A parallèlement aux ordonnées, à moins que, par un cas singulier que nous pouvons d'abord écarter, elle n'ait cette même droite pour asymptote. L'ordonnée AKL a donc une valeur déterminée; et si l'on prend sur l'axe des abscisses des points a\ d\ de plus en plus voisins de A , on pourra déterminer sur la courbe RS des points k ^ k" de plus en plus rapprochés de K, et des ordonnées a' k\ a!' k" ^ de moins en moins différentes de AR. Ainsi l'on conçoit , non-seulement qu'il existe une valeur déterminée de AK , mais qu'on peut l'évaluer avec une approximation indéfinie.
En pratique, cette approximation serait limitée par l'imperfection inhérente aux procédés graphiques , si les
THÉORIE DES FONCTIONS OERIviKS. 49
fonctions f^ F n'étaient données que par le tracé des courbes MN, PQ, et à plus forte raison si elles n'étaient données que par des tables où il n'entre qu'un nombre limité de valeurs de la variable indépendante et de ses fonctions; mais lorsqu'il s'agit de fonctions mathématiques, on comprend la possibilité de déterminer i^r/m la limite vers laquelle converge le rapport
p-, lorsque les deux termes du rapport convergent indéfiniment vers zéro. Nous donnerons, par la suite, des méthodes générales pour déterminer cette limite, dont il suffit, quant à présent , de concevoir l'existence, nonseulement pour des fonctions mathématiques, mais pour des fonctions continues quelconques.
Cette limite pourrait avoir pour valeur zéro, aussi bien que toute autre valeur numérique, positive ou négative; en d'autres termes, il n'est pas impossible que la courbe RS coupe précisément l'axe des abscisses au point A qui est le point commun d'intersection de cet axe et des deux courbes MN , PQ. Nous avons déjà rétorqué que, par un cas également exceptionnel, la droite AKL pourrait être une asymptote de la courbe BS; ce qui revient à dire que la limite en question aurait pour valeur l'infini positif ou négatif. Il n'en doit résulter aucune restriction dans nos énoncés, car on ^t habitué, en mathématiques, à regarder zéro et l'inhi comme des valeurs particulières qui peuvent, aussi tien que toute autre , être attribuées à des quantités variables, et par conséquent aux limites vers lesquelles ces quantités convergent.
29. Maintenant, envisageons plus spécialement le cas oîi Fon ferait f^
50 LIVRE I. CHAPÏTÉE III.
et supposons que la courbe j-^^ passe par l'origine des coordonnées, de manière qu'on ait à la fois j:=:o, fjc=. o. Soit MN cette courbe ( fig. 12), et menons par le point O la tangente Ot : la tangente trigonométrique de l'angle que la droite OT forme avec le demi-axe OX sera précisément la limite dont nous venons de recontiaitre Texistence, et vers laquelle converge le rapport
•— ^quand x eijx prennent des valeurs numériques de
plus en plus petites. En effet, la tangente à une courbe quelconque est la droite dont la courbe s'écarte , dans le voisinage immédiat du point de contact, moins que de toute autre droite menée par le même point : ce qui équivaut à dire que la tangente est la droite dont s'approche indéfiniment, dans son mouvement de rotation , une sécante menée par le point de contact, quand le second point d'intersection de la sécante et de la courbe se rapproche indéfiniment du premier; puisque, si rapproché que le point m soit de O, on pourra assigner un point \L compris entre m et O, et dont la distance à la sécante Ont sera plus grande que fa distance aux sécantes qui passent par le point O et par des points de la courbe compris entre f?2 et (t. Donc, la propriété énoncée dans la première définition ne peut appartenir à aucune des sécantes, et appartient à la droite dont les sécantes se rapprochent indéfiniment, par le rapprochement indéfini des points m etO.
Or, dans un système de coordonnées rectangulaires,
^ fx mp
est la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe des abscisses la sécante Oa^, menée parle point
THioUlE D2S FONCTfONS DÉRIVÉES. 51
fx
dont Tabsclsse Op= x: donc la limite du rapport ^^^ —
est la tangente trîgonométrique de l'angle TOX^ formé par la tangente et par Taxe.
Imaginons à présent que la courbe MN (^^. i3), dont 1 équation est toujours^ =:/i:, se trouve située d'une manière quelconque dans le plan des coordonnées : soient m, w,, deux points de cette courbe qui ont respectivement pour abscisses Op = x , 0>p, = x^ :
la limite vers laquelle convergera le rapport
fx,—fx
quand les deux termes du rapport convergeront simultanément vers zéro, sera^ d'après ce qui précède, la valeur de la tangente trigonométrique de langle/nTX, que la droite m T, tangente à la courbe en m , forme avec l'axe des abscisses, du coté des x positifs. Cette limite variera, en général, d'un point à l'autre de la courbe MN : ce sera une fonction de x qui dérive de la fonction fx , en ce sens que celle-ci détermine implicitement l'autre, de même que le tracé d'une courbe détermine la direction de la tangente en chaque point. . Comme ce mode de dérivation a sans comparaison plus d'importance que tout autre, Lagrange a proposé d'appeler simplement la fonction dont il s'agit, la dérivée de fxy et de la désigner par l'une des notations
qui rappellent la liaison de y' avec ^ ou de^ avec f.
Concevons que l'on ait tracé la courbe M'N' {fig- i4) dont l'équation en j' -ranf x ; la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente menée par un point de cette courbe forme avec l'axe des x^ sera une autre fonction de Xy qui dérive de f[, de la même manière
52 LIVRE f. — CHAPITRE UI.
que y dérive Aef. On l'appelle, en conséquence, la dériifée du second ordre ou la seconde dérivée àefx; et, suivant Fanalogie, on la désigne par Tun des symboles
On formerait de même des dérivées du troisième , du quatrième,. ... du /i® ordre, dont les relations avec la foïictiovi primitwe j =zfx y et avec toutes les dérivées intermédiaires, seraient très-simplement exprimées au moyen des notations
30. Quand la fonction dérivée /'.r est positive, ou quand la tangente à la courbe y ^=^fa forme un angle aigu avec l'axe des abscisses Xy du coté des x positifs , la fonction primitive^ est évidemment, croissante avec X : au contraire, la fonction j- est décroissante pour des valeurs croissantes de x, quand les valeurs de x rendent y .r négative. Nous pouvons donner une forme plus simple au même énoncé , en disant que les variations de jr sont de même signe que les variations de jr ou de signe contraire, selon que la dérivée est positive ou négative; et alors nous considérerons l'accroissement comme une variation positive, le décroissement comme une variation négative. Plus ordinairement, les analystes emploient les mots ^accroissement ou ^incrément comme synonymes exacts de celui de variation; et alors il est sous-entendu que les accroissements ou incréments peuvent avoir des valeurs positives ou négatives.
Lorsque /'a; s'évanouit,, en passant du positif au négatif,^ passe par une valeur maximum [6]; et au contraire, la fonction primitive, passe par un minimum, quand la fonction dérivée devient nulle en passant du
th^ohiï: i>bs fonctions i>:éRiv^Es. 53
négatif au positif. On voit déjà ,' d'après cet énoncé, comment la détermination des valeurs de la variable indépendante qui font passer une fonction par un m/ixU mumon par un minimum^ se ramène à la détermination des valeurs qui font évanouir sa fonction dérivée : question importante, à laquelle on donnera plus tard les développements convenables. Lai fonction dérivée pourrait changer de signe en passant , non plus par zéro ; mais par l'infini ; et alors on aurait ces maxima ou ïïàmrui singuliers, dont il à aussi été question dans le numéro cité.
Non-seulement le signe de la dérivée /'a: iait connaître si la fonction /ir éprouve un accroissement ou un décroissement pour des valeurs croissantes de ^r, mais encore la valeur absolue de f x mesure la rapidité de l'accrdissement ou du décroissement Aefx. Bien que le terme de rapidité ne s'applique, dans le sens propre, qu'au phénomène du mouvement, chacun comprend l'acception extensive que nous lui donnons ici ; et si l'on disait, par exemple, que la température de l'atmosphère wie plus rapidement près de la surface de la terre que dans les hautes régions, le sens de cette phrase serait clair pour tout le monde, quoique ni l'idée de mouvement, ni celle de temps n'entrent daqs la notion qu'il s'agit d'exprimer. Au reste, \\ est facile de définir mathématiquement 'idée que l'on se fait de la rapidité avec laquelle une fonction varie. D'abord, si /'.r était une quantité constante^ ce qui suppose manifestement que fx est une fonction linéaire de la forme ojc + b,fx varierait uniformément avec Xy en ce sens qu'à des variations égales de x correspondraient des variations égales de fx, de même signe îue celles de x ou de signe contraire,, selon que saurait '«signe positif ou négatif. Dans ce cas, la dérivée /'.r n'é-
taot autre chose que la constante a^ ou que la tangente trigonométrique de l'angle que la droite y 1=. ax +6 forme avec les x positifs , et les variations de fx qui correspondent à des variations égales de x se trouvant proportionnelles au nombre a, ce nombre mesure évidemment la rapidité avec laquelle /r varie, toujours par coniparaison avec la variable x qui est censée varier d'une manière uniforme. Ijorsque^=:/ir cesse de désigner une fonction linéaire ou l'ordonnée d'une ligne droite, à des variations égales de x cessent de correspond dre des variations égales de y. Cela posé, concevons que l'on prenne sur la courbe MN {fig' i5) dont l'équation
estjK=/x', des points w, m,, /w^, m^, très- voisins
les uns des autres, et que l'on substitue pour un mo* ment à la courbe MN le polygone mm^ m, m^ : Fordonnée variera avec des rapidités inégales d'un côté à l'autre de ce polygone; et en un point tel que /w, on devra, d'après ce qui précède, prendre pour mesure de la rapidité de la variation , la tangente trigonométrique de l'angle m^ mx que la sécante mni^ fait avec l'axe des abscisses ou avec une parallèle à cet axe, du côté des abscisses positives. Or, la courbe MN est la limite dont s'approche indéfiniment la ligne polygonale , quand les points ....m, m,, /72,, m,,.... sont pris de plus en plus voisins : donc la dérivée f'x ou tang TmXy qui est la limite dont s'approche indéfiniment tang mjnx, mesure la rapidité de la variation de l'ordonnée fx correspondant à l'abscisse Xy toujours, bien entendu, par comparaison avec.r, qui est censé varier partout uniformément. Prenons, pour plus de simplicité, l'origine arbitraire de la grandeur^, de manière que j reste positif dans toute la portion de la courbe y"=^fx que l'on veut
THJÉORIE DKS ^OHCTIOITS DRIVÉES. 55
considérer. Cette courbe MN tournera sa convexité {fig, i6) ou sa concavité (^^. l'y) vçrs l'axe des abscisses, selon que la fonctionna: ira en croissant ou en décroissant, ouseloii quey'x prendra une valeur positive ou négative. Il y aura inversion dans le sens de la courbure ou ifi'flexion dans la courbe {Jig. i8), lorsque /"^ changera désigne; et dans ce cas la première dérivéey^.r passera en général par un maximum ou par un minimum. Ainsi, sur la figure, l'angle que la tangente mï forme avec l'axe des abscisses, du coté des x positifs, après avoir été en croissant de M en m ^ point où la courbe MN subit une inflexion, va en décroissant de m en N. 31. Lorsque l'on donne la fonction dérivée y' x^ on ne détermine pas complètement par cela seul la fonction primitive fx^ de la même manière qu'on détermine la première dérivée , et par suite les dérivées de tous les ordres, en donnant la fonction primitive. Effectivement, si l'on conçoit que la courbe MN (/?^. 19), dont l'é- ([ualion est^rzz/jc, soit successivement transportée en M,N,,M, N, , etc., de façon que toutes les ordonnées de la première courbe se trouvent augmentées d'une longueur constante, les tangentes m T, m^ T,, m^ T,, <!(c., seront parallèles; et, par conséquent, la dérivée y==/\r sera commune à toutes les courbes qui ont pour équation jK=:ya: + C , C désignant une constante quelconque, que l'on appelle pour cette raison coasse arbitraire. Soit donc / une fonction inconnue de x, qui doit avoir pour première dérivée une fonction connue y z^izj'x y et , soit/ .r une fonction qui a pour dérivée f'x : on posera
J- —/^ + C , et il faudra déterminer 1^ constante arbitraire G par
56 LIVBE I. CHAPITRE III.
une autre condition; au moyen, par exemple, de la condition que la courbe MN passe par un point donné {^o9/o)j OU que la fonction prenne une valeur jKo pour une valeur donnée de x désignée par jc^. Il résulte en effet de cette condition
et par suite
équation d'où la constante arbitraire C se trouve éliminée, el où il n'entre que des quantités connues.
32. Une fonction périodique a pour ses dérivées de tous les ordres des fonctions périodiques. Une fonction paire a pour sa première dérivée et pour toutes ses dérivées d'ordre impair des fonctions impaires, tandis que sa seconde dérivée et toutes ses dérivées d'ordre pair sonbdes fonctions paires. L'inverse a lieu pour les fonctions primitives impaires. La vérité de ces diverses propositions ressort de la simple intuition des courbes , et elles s'appliquent à dés fonctions quelconques , mathématiques ou empiriques.
33. De même que nous avons défini géométriquement le passage de la fonction primitive à sa dérivée , nous pouvons donner une signification géométrique à l'opération par laquelle on remonte d'une équation dérivée à sa fonction primitive. Soit en effet ]Vf N' {^fig^ 20) la courbe qui a pour équation
et proposons^nous d'évaluer l'aire trapézoïdale comprise entre l'axe des abscisses , la courbe M' N' et deux ordonnées m^poiTnp ^ dont l'une correspond à l'abscisse déterminée 0/?o= ^o, et l'autre à l'abscisse variable Op =z X. Cette aire est une fonction de la variable x que
THJÉORIIS DES FONCTIOIYS DERIVEES. 57
Doas désignerons provisoirement par 9 x. Si x augmente et prend la valeur 0/?,=a:,, Taire augmente du trapèze curviligne mpp^ m^ , et Ion a
car, — f^x 2Î\remp p^ m^ ^
x^—x pp^
en sorte que la dérivée de la fonction f est la limite vers laquelle converge le rapport du trapèze curviligne m pp^m^h son côté/y?,, quand /y?, converge indéfiniment vers zéro. Mais l'aire de ce trapèze est comprise entre celle du rectangle mpp^ n^ et celle du rectangle /7/i /w,/>,; et le rapport des aires de ces deux rectangles , qui est mp rn, p^ ' converge indéfiniment vers l'unité, quand pp^ converge indéfiniment vers zéro. Donc aussi le rapport de l'aire d'un de ces rectangles à celle du trapèze intermédiaire converge indéfiniment vers l'unité , et Ton peut écrire
,. aire mpp^ m^ mp x ppr ^
hm. tJ. = — :£ £-i__-.;^p-- f j^^
PP] ^ , ^ PPr , , Donc la fonction désignée provisoirement par ç x sa-
tisfeit à la condition d'avoir f x pour dérivée : donc c'est une des fonctions primitives de fx comprises dans la formule /r+C , C désignant une constante arbitraire; et comme elle doit s'évanouir quand on y fait x=.ro , puisque l'on mesiu'e les aires à partir de l'ordonnée fixe /«o/'o, il s'ensuit que cette fonction est complètement déterminée, et égale à fx — -fx^.
Pour cette raison on donne communément le nom de quadrature à toute opération par laquelle on détermine une fonction, en l'assujettissant à la double condition d'avoir pour dérivée une fonction donnée, et de prendre une valeur numérique déterminée, pour une valeur particulière de la variable dont elle dépend.
58 LIVRE I. -^ cmA.piTa^ nu
Si l'on divi3e en n parties égales VinleryàU^poP {fig- ^0» et qu'on mène les ordonnées équidistante^ ^,P,'» '^nPtP etc., on a, en désignant par a>, «d^, les aires des rec-f tangles/?o/?,/w,/'o, /?,/>,, //^"^,, et par e l'intervalle
PoP
constant /^o 27 =:^--i-,
m^p^ +rn^^p^^ -¥ etc. a> + <»«»/ -H etc. .
o'est-à-dire que la moyenne arithmétique des ordonnées m^p^^ m^^p,^^ etc., égale la somme des aires w,, w, etc., .divisée par la \\^nepoP=x — Xo. Mais , quand le nombre n devient de plus en plus grand, l'intervalle 8 décroissant en raison inverse, afin que le produit /2 6 reste constant, la somme des aires o, c»^, etc., converge indéfiniment vers une limite qui est l'aire trapézoïdale mo/'o/'^Tii^ Donc le rapport de cette aire à l'intervalle /^o/' 9 ou bien le rapport
Jx—fx,
X — — ■ .ZTq
exprime Id moyenne de toutes les valeurs , en nombre infini, que prend la fonction dérivée /^j:, pour les valeurs, aussi en nombre infini, de la variable indépendante, com<prises entre Xo et x.
Pour la généralité de cette règle, et de toutes celles qui se rattachent à la théorie des quadratures , il faut considiérer comme négatives les aii«s telles que qs^q\ limitées par des ordonnées négatives.
34. On conclut facilement de ce qui précède, qu« ù une fonction / était- donnée par la condition d'avoir pour dérivée du n^ ordre une fonction connue
THiOBIE DES FONCTIONS D^ftlviES. 59
il fiiudraii en outre, pour déterminer complëtement Xf assigner explicitement ou implicitement les valeurs
que prennent les fonctions
pour une valeur déterminée de Xy telle que Xp. Soit en effet M^"^N^"^ (/f^. aa) la courbe donnée par l'équation (^n)* '^ tracé de cette courbe détermine en fonction de Fabscisse variable 0/>=x l'aire trapézoïdale m^p. pm , et détermine par conséquent la courbe dont l'équation est
pourvu qu'on assigne /^'^'^oTo, ou la valeur de^"~'^ correspondant à or =: Xp. La courbe (a,^,) étant tracée détermine par la même raison celle qui a pour ordonnée
pourvu qu'on assigne l'ordonnéey^""*^ Xp , et ainsi de suite.
35. On a supposé tacitement dans ce qui précède^ que l'ordonnée y.r ne devient point infinie entre les limites de la quadrature. Il pourrait se faire néanmoins que les raisonnements et les constructions fussent encore appttcablesy même lorsque la fonction /'or prendrait entre les limites de la quadrature une valeur infinie. Soit en effet
l'équation d'une courbe MBN (fig. u3) qui a un rebroussement en R [6] , l'ordonnée PB étant tangente auB: deux arcs MR , RN : la courbe M'N' , dont l'ordonnée est la dérivée /'a:, aura pour asymptote la droite FR' menée parallèlement à OY' par le point P' dont l'abscisse OP=£)P. Dans ce cas, il résulte de la définition même delà courbe M^N^, que l'aire comprise entre une ordonnée fixe mlopo 7 l'asymptote P'R', l'axe des x et la courbe
60 LIVRE 1. CHAPITRE ÎH.
M', a une valeur finie , numériquement égale à la différence des ordonnées PR,/?t/Wo' En d'autres termes, il i arrive en pareil cas que Taire trapézoïdale m!^p\p'm \ converge vers la valeur finie PR — m^p^ , quand le point p' se rapproche de plus en plus du point F'. Alors rien ne s'oppose à ce que l'ordonnée de la courbe MRN soit censée déterminée par une quadrature , au delà comme en deçà de l'ordonnée PR. La même observation s'applique à la courbe MRN (Jig. a4), qui est touchée au point R par l'ordonnée PR, et qui subit une inflexion en ce point.
Au contraire, si l'aire limitée d'une part par lordonuée /7i'o/?'o {fig^ ^3), de l'autre par l'asymptote P'R', était infinie, ou si l'aire trapézoïdale /n'o/^'o/^'^^' convergeait vers l'infini, quand le point/?' se rapproche de plus en plus du point P, l'ordonnée PR serait aussi une asymptote de la courbe M qui éprouverait une solution de continuité; et l'on ne pourrait plus passer, par la continuation de la même quadrature, de la branche M à la branche N.
Nous conclurons de ces remarques que, quand une fonction éprouve une solution de continuité en passant par l'infini, sa première dérivée, et par suite ses dérivées ultérieures de tous les ordres , éprouvent la même solution de continuité ; mais que l'inverse n'a pas généralement lieu, une fonction pouvant devenir infinie sans que la fonction primitive dont elle dérive devienne infinie , pour la même valeur de la variable indépendante.
36. Une fonction quelconque y=fx étant représentée par l'ordonnée de là courbe MRN {fig- a5), cette courbe peut être continue ( en ce sens que l'ordonnée reste finie , sans passer brusquement d'une valeur finie à une autre ), et offrir au point R ce que dans les arts
