THÉORIE DES FONCTIONS DÉRIVÉES

graphiques on appelle un yarre^; c'est-à-dire que la tangente, après avoir varié d'inclinaison d'une manière continue de M en R , passe brusquement de la direction FRT à la direction SRS', pour varier ensuite d'inclinaison , sans discontinuité , de K en N. Nous dirons qu'en pareil cas la ligne MRN a un point saillant en R» La courbe dont l'ordonnée est la fonction dérivée ^z= /réprouve une rupture, et cette fonction dérivée ellemême subit une solution de continuité résultant du pas** sage brusque d'une valeur finie à une autre, pour la valeur de ûc qui est l'abscisse du point saillant de la courbe j^=/i:. Les dérivées de /r, des ordres supérieurs , éprouvent toutes en général, pour la même valeur de .r, la solution de continuité qui consiste dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre.

Dans ce cas, aussi bien que dans celui o\\ f*x devient infinie, fx restant finie, nous dirons que la fonction fx^ et toutes les dérivées subséquentes, éprouvent une solution de continuité du premier ordre ^ et que la fonction primitive /r éprouve une solution de continuité du second ordre.

La fonction^^ pourrait elle-même n'éprouver qu'une solution de continuité du second ordre; celle de la seconde dérivée /"x et des dérivées subséquentes étant du premier ordre ; et alors nous dirions que la fonction primitive fx subit une solution de continuité du troU sième ordre. En général, on dira qu'une fonction éprouve une solution de continuité du n"" ordre, lorsque sa dérivée, du {n — i)® ordre, et, par suite, les dérivées d'ordres plus élevés, éprouvent une solution de continuité du premier ordre, résultant, soit du passage de ces fonctions par l'infini, soit de leur passage brusque d'une valeur finie à une autre.

63 LiVaE I. — CHAPITRE III.

37. La distinctiou des solutions de continuité des divers ordres, telle qu'on vient de l'établir, est d'une grande importance dans la théorie des fonctions, soit qu'on l'applique à l'algèbre, à la géométrie ou aux questions de physique mathématique. Jusqu'à ces derniers temps, les analystes entendaient , et l'on entend communément encore par fonctions discontinues celles qui s'expriment, dans diverses portions de leurxours^ par des formules algébriques différentes. Effectivement, il sera prouvé plus loin que toute fonction^ égale à la fonction algébrique/'.r^ pour les valeurs de ^ plus petites que x , et à la fonction également algébrique f^x, pour les valeurs de x plus grandes que Xo^ éprouve, pour l'abscisse .r=Xo, une solution de continuité d'un ordre déterminé ; ou que ces .fonctions, à moins d'être identiques, ne peuvent satisfaire à la série d'équations

/ro=/^o,/^o=/.^o,/'^o=.A^o, etc.

prolongée à l'infini ; en sorte que si la dernière des équations de cette série à laquelle on peut satisfaire, est

la fonction^ éprouvera, pour l'abscisse x^^ une solution de continuité de l'ordre /i + 2.

Cette proposition cesserait d'être exacte si les fonctions yj fi n'étaient pas des fonctions algébriques, explicites ou implicites. Nous verrons, en effet, sur des exemples, qu'une fonction peut recevoir dans diverses portions de son cours, des expressions transcendantes de formes essentiellement différentes, sans qu'il y ait de solution de continuité d'un ordre quelconque, correspondant au passage d'une forme à l'autre.

Nous verrons aussi qu'une même expression transcendante peut équivaloir à une certaine fonction algébrique fx pour les valeurs de .r < ^o > et à une autre fonction

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algébrique y^x, distinq^te de la première, pour lés va^ leurs de JT > a?^. Ainsi une série convergente, qui est une expression transcendante, peut avoir successivement pour somme les fonctions algébriques distinctes y.t: et f^x.

Dans toiis les cas , leâ caractères essentiels des solu* tions de continuité sont ceux que nous avons donnés dans le numéro précédent, sans égard à la circonstance accessoire que la fonction puisse ou non s'exprimer ma* thématiquement , sous forme algébrique ou transcen» dante, dans la totalité ou dans une portion de son cours.

38. Nous avons dit [4] que les fonctions qui représentent des grandeurs physiques et mesurables ne peu^ nent devenir infinies, mais qu'il y en a parmi elles qui sont susceptibles d'éprouver J[es solutions de^.cpntinuité coosrstaht dans œ^passage brusque d'une valeur finie à une autre, au moins sous le point de vue où nous nous trouvoDs placés pour observer les phénomènes matériels et pour les soumettre au calcul. Ceci se rattache aux no*^ tiens sur les limites et sur les fonctions dérivées qui font l'objet du présent chapitre. Admettons , pour fixer les idéeS) que ^ désigne la densité d'un cylindre ABGD [fig. 26), supposée la même dans toute l'étendue d'une section perpendiculaire à l'axe OX , et variable d'une section à l'autre. La distance Op de la base du cylindre à la section mn^ pour laquelle la densité a la valeur^, étant représentée par Xyj- deviendra une fonction dex; mais comme la notion de densité n'est pas applicable en soi à une surface mathématique, il faudra, pour définir rigoureusement la grandeur^, imaginer un plan ^t fil parallèle à mn, et qui peut s'en rapprocher indéfiniment, tandis que mn reste fixe. La masse de la tranche ^n, rtin, divisée par son volume, donnera un quotient

variable avec la distance ppx = x, — x. Ce quotient convergera vers une certaine limite quand x^ — x convergera indéfiniment vers zéro; et la limite du quotient sera précisément la fonction de x que nous pi'enons pour mesure de la densité du cylindre dans rétendue de la section /n/i. On appliquerait ce que nous venons de dire au sujet de la mesure de la densité , à la mesure de la température et généralement de toutes les grandeurs qui ne peuvent être conçues qu'à la faveur de cette explication comme des fonctions des coordonnées d'un point, d'une ligne ou d'une surface mathématiques.

En général^ la limite qui mesure la fonction y ne changera pas, soit qu'on mène le plan rrixTix en avant ou en arrière du plan mn ; mais, pour certaines valeurs particulières de x^ la limite pourra être différente dans les deux cas; et alors, la fonction j* éprouvera la solution de continuité de premier ordre qui consiste dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre. Elle pourrait aussi éprouver une solution de continuité du second, du troisième ordre, et ainsi à l'infini.

Si l'on détermine la fonction y en menant deux plans parallèles mji^ , mV, l'un en avant, l'autre en arrière du plan mriy et en cherchant la limite vers laquelle converge le rapport de la masse mxrixm'ri à son volume quand les deux plans mjixj niri se rapprochent indéfiniment de miiy en général la fonction y sera encore la même ; mais, pour la valeur de x qui fait éprouver à la fonction une solution de continuité du premier ordre , la valeur de la limite, calculée dans la seconde hypothèse , sera la demi-somme des deux valeurs distinctes correspondant à cette valeur de x^ dans la première hypothèse.

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