Supposons qu'on ait identiquement

fx = ç j: -f- \x -f- ^^30 4- etc. ,

OQ aura aussi , quelles que soient les abscisses x^^l x ^

fx.—fx ça:, — ffx ifX^ — i(X xix^ — xAx

— - *Hp ^ "i " "T* etc» \

et par conséquent , en faisant converger la différence r, — :r vers zéro , et prenant les limites de tous les rapports ,

f X tzzff X + if' X -{^ xi' X + etc. Donc la dérivée d'une somme (algébrique) de fonctions esl la somme (algébrique) de leurs fonctions dérivées*

La dérivée du produit de deux fonctions est la somme des produits qu'on obtient en multipliant chacune des fonctions par la dérivée de l'autre. Soit^ en effet,

fxt± <fx . fr; ooaura identiquement

^^.ifx^ — (fX. i(X^=> (çXx — f^)i(X + {i/X^-^i(X)ffX 4- (?^. — çx) {ifx, — i(X) ,

QOÙ

fx.—fa^ (fx^—(jfx i/x^ — ifx

-^^— = ^— • ijx -f- "-^ : 9X

Si Ion fait maintenant converger x^ — x vers zéro et (|u on passe aux limites , il viendra

f X'=- (^'x . i(X + i(X . (fX ; {b) car, dans l'hypothèse où <fx et '^x n'éprouvent pas de! solution de continuité du premier ou du second ordre , 'e facteur ^x, — ^x converge vers zéro en même temps l^e t, ^ a: , et le facteur

<fXt — <fX

66 LIVRE ï. CHAPITRE III.

convergeant vers la limite finie (f'x , le terme

a pour limite zéro.

On peut mettre l'équation (b) sous la forme plus symétrique

fx ç.r ^x '

et il est aisé d'en conclure que si l'on avait

fx:n<fx . ^x . xix ,

la dérivée/"' serait donnée par la formule

fx (DX ^'x xS!x