IVOTIONS SUR LES DIFFERENCES DES DIVERS ORDRES

comparable pour sa petitesse à \x , les différences

Ar, A'jr, A^, ^Jr

seront des quantités très-petites du premier , du second ,

du troisième , du n^ ordre , ou des quantités

respectivement du même ordre que

Ax , Ar* , A.r^ A.r" .

46. Il ne sera pas hors de propos d'ajouter ici quelques éclaircissements au sujet de la distinction que font les géomètres, de grandeurs de divers ordres, lorsqu'ils se proposent, non plus de déterminer rigoureusement des rapports mathématiques , mais d'évaluer approximativement des grandeurs qui ont une existence réelle.

A envisager les choses dans leur généralité abstraite j cette distinction est sans doute artificielle : il n'y a pas dans la nature de grandeur ni de petitesse absolues ; la même grandeur s'exprime par des nombres très-grands ou par des fractions très-petites, selon l'unité employée ; et des grandeurs continues de même espèce ne peuvent ^on plus être distribuées naturellement en des ordres distincts, sous le rapport de leur grandeur, par la raison même qu'elles sont continues , et qu'on peut aller de l'une à l'autre par des transitions insensibles.

Mais au point de vue où l'homme se trouve placé pour . observer les phénomènes et mesurer les grandeurs qui en dépendent, il y a des unités de mesure indiquées par la nature des choses, et d'une disproportion telle quand on passe d'un ordre de phénomènes à un autre, que l'on est effectivement conduit à établir entre des quantités de même espèce une subordination de grandeur.

Ainsi, dans certaines recherches délicates de physique, telles que celles qui se rapportent à la capillarité et à l'optique, on a pu prendre le millimètre pour unité

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de longueur : on compliquerait, sans raison, l'expression numérique des grandeurs qu'il s'agit de comparer dans ces recherches, si Ton s'avisait de choisir pour unité le mètre ou le kilomètre; et il serait absurde de prendre pour unité le millimètre, quand il s'agit de comparer des hauteurs de montagnes dont la mesure comporte toujours une erreur de quelques décimètres ou même de quelques mètres. Que s'il s'agit de mesurer les diamètres du soleil et des planètes, la nature de l'observation, l'analogie conduisent à prendre pour terme de comparaison ou pour unité de longueur le rayon terrestre; car, non-seulement des différences de quelques centaines de mètres sont insignifiantes , eu égard aux dimensions de ces corps énormes et aux phénomènes sur lesquels ces dimensions ont de l'influence, mais encore de telles différences sont insaisissables , par les moyens d'observation et de mesure dont nous disposons. Enfin , dans la mesure des dimensions des orbites planétaires, le rayon même du globe terrestre serait une unité disproportionnée : le grand axe de l'ellipse que la terre décrit est l'unité convenable, en comparaison de laquelle on peut regarder comme très-petites , ou même dans beaucoup de cas comme échappant à nos mesures, des variations de distance comparables aux dimensions de la terre. Il serait facile de pousser cette progression plus loin, en continuant de prendre nos exemples dans des phénomènes astronomiques bien généralement connus; mais les explications déjà données font suffisamment comprendre comment nous sommes conduits à concevoir des grandeurs homogènes de divers ordres : de manière que , dans chaque classe de phénomènes , et pour la mesure des grandeurs qui s'y rapportent, il convienne de pren-

THioRIR DES INFINIMENT PETITS. 81

dre Funité dans un certain ordre , et en conséquence d'exprimer les unités de Tordre inférieur par de trèspetites fractions. C'est à cette subordination «des grandeurs, lorsqu'elle existe, que tient la simplicité des lois des phénomènes, et que nous devons la puissance de les soumettre au calcul, par les méthodes d'approximation que l'analyse a fait découvrir.

Théorie des iufiniinent petits et principes du calcul infinitésimal.