Étant donnée la série des différences des divers ordres

A7 , A»jr, A^ ,

qui deviennent, pour de très-petites valeurs de A.r , respectivement comparables à

Aj:, Ar* , A^' , ,

l'erreur que l'on commettra en négligeant ^y , Ar* visà-vis de ^jy, \jc; A^, Ar^ vis-à-vis de A^ , A,r' , et ainsi de suite, sera d'autant moindre que l'on prendra pour ir une quantité plus petite; et Ton pourra toujours prendre ir assez petit pour que l'erreur commise tombe audessous de toute grandeur donnée. C'est ce qu'on exprime , d'après Leibnitz , d'une manière plus brève , en disant que A^, Ao;' sont rigoureusement négligeables vis-à-vis de Ay , Ar ; que A^ , Ar' le sont pareillement vis-à-vis de A*;^ , Ar* , et ainsi de suite , lorsque la différence Aj: est infiniment petite.

^ et par suite A;^ étant des quantités infiniment petites , Ar* , A^ sont des quantités infiniment petites du ^nd ordre ; ce qui signifie que les rapports Ar* • A*j^ Âx ' A/^ T. I. 6

deviennent aussi des quantités infiniment petites. A.r^ , H^j sont des infiniment petits du troisième ordre; ce qui revient à dire que les rapports

deviennent des quantités infiniment petites y ou que les rapports

sont des infiniment petits du second ordre. Généralement, pour des valeurs infiniment petites de Hx ^ les quantités Ao:" , IS^^y deviennent , dans le sens qui vient d'être expliqué, des quantités infiniment petites du tt^ ordre.

Ce langage adopté , au lieu de dire que les dérivées

sont les limites vers lesquelles convwgent indéfiniment les rapports

Âx'Â^' Âï^'

quand la diiFérence Aj? converge indéfiniment vers zéro , nous énoncerons le même fait en disant que ces fonctions dérivées sont les valeurs mêmes des rapports correspondants j quand la différence Ar devient infiniment petite^ et quand par suite les différences by^ A*jr, A^, ...... deviennent des quantités infiniment petites du

premier, du second, du troisième ordre, chacune rigoureusement négligeable vis-à-vis des infiniment petits d'un ordre inférieur.

Afin d'exprimer la même chose avec la conctsion qui est propre à l'écriture algébrique, Leibuitz emploie la caractéristique d pour désigner des différences infini-

THÉOaiE DES INFINIMENT P£1ITS. 83

ment petites ; et d'après cette notation , nous poserons r'-^ /'-^ /"-^ etc

ou bien

dy=fx . dx , d^yzzzf'x . dx^ , d[^f=,fx . dx^j etc. 48. Pour faire comprendre tout de suite , par un exemple très-simple , la raison et le but de cet algorithme , proposons-nous de trouver la dérivée de la fonc« tion algébrique

jr=:zx^ + ax^ + bx + c :

Qous aurons y en formant d'abord la différence â^ pour

passer de là au rapport — ^ et ensuite à la limite ,

\j-=:(^x -f- A^)^-|- a(x + ^xy+6(x H- A^) H- c — (x^ + ax*+bx '+•€)=: (^^^'^ ^ax-^ b)\x -H (3x 4- a) ^x* H- ^x^ ; d'où nous tirons

ûkfX

Or, si nous disons converger indéfiniment \x vers zéro, les termes

(3a: -|- a) Ax , A^* convergeront aussi indéfiniment vers zéro, et s' évanouiront à la limite : donc on a Av

Au lieu d'employer ce tour de raisonnement , traitons les di£férences Ax, A;^ comme des quantités infiniment petites, et désignons-les par dx^dj: nous aurons (fy'z={Zx*-\-ikax-\'b)dx'\'{^x-\'d)dx^'\'da?\ (i)

mais les termes

(3^-|-a)dlr*, dx^ sont des infiniment petits du second et du troisième

84 LfVRB I. CHAPITRE IV.

ordre, qui doivent être négligea vis-à-vis des quantités infiniment petites du premier ordre,

donc on a simplement

dj- =1 (3a:* -|- ^ ax -\' V) dx; (a) d'où l'on tire, comme ci-dessus , dy

Maintenant (et c'est en ceci que consiste essentiellement l'avantage du procédé de Leibnitz) il est dair qu'on aurait pu se dispenser d'écrire dans l'équation (i) et de calculer préalablement les termes en dx^ et dx^, sachant que ces termes ne peuvent être que des infiniment petits d'ordres supérieurs, destinés à disparaître vis-à-vis des infiniment petits du premier ordre, de même et par la même raison que ceux-ci disparaissent vis-à-vis des quantités finies. Il y a plus : pour former ÀLjr on a eu besoin de connaître la formule qui donne les développements des puissances (^ -h A o:)^, (^ + Ax)^; tandis que, pour former l'équation (a), il aurait suffi de connaître les termes affectés de la première puissance de ^x dans les mêmes développements.

Supposons encore que nous voulions trouver la dérivée de la fonction qui mesure l'aire trapézoïdale comprise entre la courbe M' N' (^fig. ao), l'axe des abscisses et deux ordonnées nto p^, mp^ dont la première est fixe, tandis que l'autre se déplace. Cette question a été traitée au n® 33 par la considération des limites. Pour y appliquer les principes de Leibnitz, nous concevrons que l'abscisse Op = x augmente de la quantité infiniment petite pp^ •=. dx. L'aire m^p^pm étant désignée par ^, la valeur de dy sera le trapèze curviligne infiniment pe-

THÉORIE DES HiFlNIMECTT PETITS. 85

tit mpp^ rriy. Mais , si nous menons les droites mn^y mjiy parallèles h pp^, la différence de (fy au rectangle inJBniment petit mpp^Fij sera moindre que Taire du rectangle mn/njiy qui est elle-même un infiniment petit du second ordre, puisque les doux dimensions ma,, A/2^,sout chacune des infiniment petits du premier ordre. Donc, en négligeant, comme on doit le faire, les infiniment petits du second ordre vis-à-vis de ceux du premier ordre, et en désignant p2s fx l'ordonnée courante de la courbe IVTN^ on aura

djr =ifx . dx , d'où Ton tire

ce qui apprend que la dérivée de la fonction cherchée est précisément la fonction donnée/*' or.

En général, on ne soumet à des raisonnements , à des constructions et à des calculs, des infiniment petits de divers ordres , que pour assigner les rapports finis qui existent entre des infiniment petits du même ordre; et à cet effet on néglige constamment les infiniment pe*^ tits d'ordre supérieur vis-à-vis des infiniment petits d'ordre inférieur: ce qui opère, dans le cours même des raisonnements, des constructions et des calculs, des simplifications qui constituent essentiellement l'avantage de la méthode.

49. Effectivement, si nous pouvions comparer dès le début, non plus seulement dans leurs germes, mais dans leurs applications aussi variées qu'étendues, la méthode des limites et la méthode infinitésimale, nous verrions que toutes deux tendent au même but, qui est d'exprimer la loi de continuité dans la variation des gran-

deurs^mais qu'elles y tendent par des procédés inverses. Dans la première méthode, étant donnée à traiter une question sur des grandeurs qui varient d'une manière çontÎDjiie, on suppose d'abord qu'elles passent subitement d'un état de grandeur à un autre; et l'on cherche ensuite vers quelles limites convergent les valeut*s obtenues dans cette hypothèse, quand on resserre de plus en plus l'intervalle qui sépare deux états consécutifs. Il çst clair qu'on n'obtient ainsi qu'après coup, à la fin de la solution, les simplifications qui résultent de lacon-^ tinuité, et que la méthode infinitésimale, par l'évanouissement successif des infiniment petits d'ordres supérieurs , donne directement et successivement , à mesure qu'on avance dans le traitement de la question.

Aussi peut-on poser en fait que, quelque adresse que Ton mette à employer la méthode des limites, et quelques simplifications que les progrès des sciences apportent dans ks théories mathématiques et physiques, on arrive toujours à des questions pour lesquelles il faut ''renoncer à cette méthode, et y substituer, dans le langage et dans les calculs , l'emploi des infiniment petits des divers ordres.

D'ailleurs la méthode infinitésimale ne constitue pas seul^nent un artifice ingénieux : elle est l'expression naturelle du mode de génération des grandeurs physiques qui croissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Ainsi , pour revenir sur un ex^nple cité [4^], quand un corps, en se refroidissant, émet sans cesse de la chaleur thermométrique, la perte de tempéra^ture qu'il éprouve dans un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on le suppose, est un effet composé, ré^iultant, comme de sa cause, de la loi suivant laquelle

TH]k>KlK D&S INFINIMENT I^ETITS. 87

le corps émet sans cesse, en chaque instant infiniment

petit , une quantité infiniment petite de chaleur thermo*

métrique. Le rapport entre les variations élémentaires

de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui

setablit entre les variations de ces mêmes grandeurs

quand elles ont acquis des valeurs finies ^ le terme de

raison étant pris ici dans son acception philosophique.

De même, pour employer un exemple déjà familier

à la plupart de nos lecteurs, les espaces décrits par un

corps qui tombe librement , en cédant à l'action de la

pesanteur, varient proportionnellement aux carrés des

temps écoulés depuis le commencement de la chute,

parce que l'accroissement infiniment petit de l'espace

parcouru est proportionnel à lavitesse acquise, qui elle»

même , par un résultat évident de l'action continuelle et

constante de la pesanteur, est proportionnelle au temps

écoulé depuis que le corps est en mouvement. De cette

relation si simple entre les éléments du temps écoulé

et de l'espace décrit, dérive, comme de sa cause, la

loi moins simple qui lie entre elles les variations finies

de ces deux grandeurs.

Sous ce point de vne , on a pu dire avec fondement , que les infiniment petits existent dans la nature ; et il conviendrait certainement , dans le même ordre d'idées, d'appeler y ^ la fonction génératrice ou primitive , et fx la fonction dérivée , au lieu d'appliquer ces dénominations en seus inverse, comme l'a fait Ijagrange, guidé en cela par des considérations de pure algèbre.

Du reste, ces remarques ne concernent pas exclusivement les grandeurs douées d'une existence physique : en géométrie pure, les grandeurs continues ont aussi ou peuvent avoir leur mode naturel de génération, par

le mouvement de certains points, lignes ou surfaces; et, en pareil cas , on trouve le même avantage à saisir directement la loi des variations infinitésimales, de laquelle résulte la loi des variations à l'état de grandeurs finies.

En résumé , la méthode infinitésimale est mieux appropriée à la nature des choses ; elle est la méthode directe, au point de vue objectif; et c'est pour cela que l'algorithme de Leibnitz, qui prête à cette méthode le secours d'une notation régulière, est devenu un si puissant instrument^ a changé la face des mathématiques pures et appliquées, et constitué à lui seul une invention capitale dont l'honneur revient sans partage à ce grand philosophe. D'un autre coté, le concept de l'infiniment petit ne peut se définir logiquement que d'une manière indirecte, par l'intermédiaire des limites ; de sorte qu'au point de vue logique et subjectif, la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites, et indirectement à la méthode infinitésimale, en tant que celle-ci devient, à l'aide de certaines définitions de mots, une pure traduction de la première. La conséquence de ce double fait, c'est qu'on ne peut se dispenser de mettre en évidence, dans les cas les plus simples, l'identité des résultats des deux méthodes; mais qu'une fois cette traduction bien comprise, il convient de s'abandonner à la niéthode infinitésimale,. qui seule peut conduire à la solution des questions compliquées, par la suppression de tout échafaudage inutile.

Quoique la méthode des limites ait certainement toute la rigueur logique désirable, le concept sur lequel elle repose ne semblait pas encore assez rigoureusement défini aux géomètres de l'antiquité, habitués aux subtili-

THEORIE DES INFISIM^ICT PETITS. 89

tes de la dialectique grecque, et qui cherchaient toujours à réduire le nombre des concepts immédiats, en tirant le plus grand parti possible du principe d'identité ou de contradiction sur lequel repose la démonstration logique. En conséquence ^ ils substituaient à la méthode des limites le procédé si connu dans les éléments, de la réduction à Tabsurde. ou de Xexhaustion :- procédé le plus indirect et le plus compliqué de tous; celui, par conséquent, qu'on est forcé d'abandonner le plus tôt, quand on s'élève graduellement des questions les plus simples aux questions plus complexes.

Il y aurait à tirer, du i-approchement de ces diverses théories mathématiques, des inductions précieuses pour letude générale des opérations et des lois de l'entendement; mais ce serait faire, dans le champ de la philosophie pure , une excursion incompatible avec le but essentiel de cet ouvrage.