Les différences infiniment petites dx ^ dy ^ d^y

(Py, se nomment plus brièvement des diffé-

rentielles. I^s rapports

dy d^y d^j

di' Ibc^' dx^'

dont nous avons fait voir l'identité avec les fonctions

dérivées y^j'^j'^ quand la différentielle dx est

constante, et avec les fluxions^, Jt J'i quand la

fluente x varie ou s'écoule uniformément avec le temps, ont été nommés, par M. Lacroix, les coefficients différentiels de la fonction jy et Ton fait maintenant un usage fréquent de cette expression. L'ordre d'un coefficient différentiel est celui de la différentielle et de la fonction dérivée correspondantes.

Differentieryxne fonction,, c'est passer de cette fonc-

tioQ à sa différentielle : la branche de l'analyse qui a pour objet la dîfférèntiation des fonctions se nomme le Calcul différentiel.

On appelle équations différentielles celles qui ont lieu entre la variable indépendante, la fonction qui en dépend , et les dérivées ou les coefficients différentiels de cette fonction. L'ordre d'une équation différentielle est celui du coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé qui ^^entre dans cette équation. Ainsi

est une équation différentielle du premier ordre ; /(•^,jr,y,y') = o, ou./(.r,jr,^, ^)=o,

est une équation différentielle du second ordre; et ainsi de suite.

51. La différence finie x — x^ est la somme des incréments infiniment petits que la variable indépendante a reçus successivement , en passant de la valeur x^ à la valeur x : de même la différence finie y — y^ est la somme des incréments infiniment petits ou des éléments différentiels

dj=fx.dx, par l'accession successive desquels la fonction a passé de la valeur /o à la valeur^; ces éléments peuvent d'ailleurs être de même signe que dx ou de signe contraire |3o], selon que/'x prend une valeur positive ou négative.

On écrit en conséquence

r — ro=ff^^'dx, (3) ' pu

fx — /.ro = / fx . dx ,

TH£ORI£ DES INFIiriMEHIT MTITS. 91

le signe /étant regardé comme l'abréviation du mot somme ou summa; et l'on dit que

est V intégrale de la différentielle y>.r&, entre les limites x^,, a: Q).

En d'autres termes , si l'on prend

Ax = ■■ ■ « n '

la somme

convergera vers la limite

fx—fx, quand on prendra le nombre n de plus en plus grand , oa quand Aa: convergera vers zéro.

52. L'équation (3) montre qu'il ne suffit pas d'assigner la fonction f'x pour déterminer complètement la fonction jr àonifx est la dérivée, ou àanïfxdxasi la différentielle : il faut en outre assigner explicitement ou implicitement la valeur de la fonction.^ correspondant à une valeur déterminée de la variable indépendante, ce. qui rentre tout à fait dans le principe déjà connu [3i et 39].

(') Leibnitz employait toujours fe terme de somme, dont le signe /est rabrëviation ; celui èi intégrale a ëië proposé par les Bernoulli. Voy. OEuQres de Leibnitz y t. III, p. 3a6.

Cest un usage peu ancien que celui d'écrire en indices, au haut et au bas du signey*, les valeurs des limites supérieures et inférieui*es de l'intégrale, c'est-à-dire, les valeurs de la variable indépendante eolre lesquelles la sommation ou Tinlégration s*cflectue : cette notation très- commode a été proposée par Fourier, et on l'a aussitôt généralement adoptée. •

Il suit de là : i® que, si l'on peut découvrir, par ui moyen quelconque, une fonction /r qui jouisse de U propriété d'avoir pour dérivée J^x, on aura, pour dei valeurs quelconques des limites x^^ x, la valeur de l'in^ tégrale

/ f xdxzizfx — fx^\

2° que

C désignant une constante arbitraire, est l'expression générale des fonctions qui ont pour dérivée f'x. En conséquence, on qualifie ^intégration indéfinie l'opération par laquelle on remonte de la dérivée /'.r à l'expression générale des fonctions dont elle est la dérivée , ou de la différentielle fxdx à l'expression générale des fonctions dont elle est la différentielle, et l'on indique cette opération par le signe y, sans désignation de limites. Ainsi l'on écrira

ffxdx=fx^Q, ou bien

^ f'xdx=.fx'\- const. ;

et l'on dira que l'expression

fx -|- const.

est X intégrale indéfinie de la différentielle /'^ dx.

Par opposition , on appelle intégrales définies celles qui sont prises entre des limites indiquées, et que n'accompagne plus la constante arbitraire inhérente à l'intégrale indéfinie.

53. Le Calcul intégral ^ que l'on peut considérei comme l'inverse du calcul différentiel , a pour objet la détermination des intégrales, indéfinies et définies. Ou comprend à la fois, sous la dénomination de Calcul in-