THÉORIE DES INFINIMENT PETITS

finiiésimalj le calcul différentiel et le calcul intégral.

Le calcul infinitésimal , en tant qu'il a pour objet de démontrer, à l'aide d'un langage et d'un algorithme particuliers, les relations générales qui subsistent entre les fooctions et leurs dérivées des divers ordres , ren* feriDe ce qu'il y a de plus important dans la théorie des foDctioDS, et se confond en quelque sorte avec cette tbéorie, dans l'état de la science; mais il faut pourtant distinguer, au point de vue rationnel, le calcul qui n'est qu'un instrument , d'avec la théorie à laquelle on l'applique.

Il ne faut pas identifier non plus la méthode infinitésimale (méthode que l'on avait déjà appliquée avant Leibnitz et que l'on applique encore dans les parties élémentaires de la géométrie et de la statique) avec Talgorithme différentiel imaginé par Leibnitz, en vue les applications de la méthode infinitésimale à la théorie des fonctions.

L'usage apprendra que cet algorithme , malgré ses avantages généraux , n'est pas exempt de quelques imperfections, inhérentes au mode d'écriture, et qui ne tiennent pas au fond de la méthode infinitésimale. Dans certains cas, l'algorithme de Lagrangeest plus commode, et alors les analystes ne font aucune difficulté de i'em* ployer, tout en se servant plus habituellement de la Dotation leibnitzienne.

54. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède , ifie la fonction n'éprouve point de solution de continuité, résultant de ce que cette fonction ou ses dérivées ^es divers ordres passent par l'infini , ou passent brus- <|oement d'une valeur finie à une autre. En effet, dire lue la fonction j* éprouve une solution de continuité du

pii^mier ordre, c'est dire que, pour une variation ihlB' nimeat petite dx, la variation correspondante cfy' a une valeur finie ou infinie: infinie si jr passe par l'infini . finie, si^ passe brusquement d'une valeur finie à une autre ; et dans l'un et l'autre cas il n'est plus permis de traiter cty comme un infiniment petit du même ordre que djc. Pareillement , si la fonction^ éprouve unesolu-

tion de continuité du second ordre, dy = -j-- est une

quantité finie ou infinie a, et la différentielle seconde dy-^i^adx n'est plus un infiniment petit du second ordre, négligeable vis-à-vis des infiniment petits du premier ordi*e, et ainsi de suite. Donc toutes les formules auxquelles on est parvenu en employant la différentielle cfy- et en la traitant comme un infiniment petit du premier ordre , cesseront en général d'être exactes , si la fonction j- éprouve une solution de continuité du premier ordre ; toutes celles qui ont exigé l'emploi de la différentielle seconde dy- , traitée comme un infiniment petit du second ordre , cesseront aussi en général d'être exactes', non - seulement lorsque^ éprouvera, dans les limites de l'application des formules , une solution de continuité du premier ordre , mais lors même qu'elle ne subirait, entre les mêmes limites, qu'une solution de continuité du second ordre ; et ainsi à l'infini. Toutes les fois que des valeurs infinies de (fy- correspondent à des valeurs infiniment petites àeda: jle coef-

d Y ficient différentiel ^ devient infini ; mais la réciproque

n'est pas vraie généralement ; ce qui revient à cette remarque déjà faite , et rendue évidente par la considération des courbes [35], que la dérivée^' peut passer pour