TUËORIE DES INFINIMENT PETITS

finfiai saus que la fonction^ cesse d'être finie. En re- ^rdant d'ailleurs dy comme la limite de la valeur de i) tirée de l'équation

on conçoit que la limite du produit de deux facteurs , dont l'un -^ converge vers l'infini , et l'autre Ax con-

verge vers zéro, peut être l'infini, ou une quantité finie, ou même zéro. Dans les deux premiers cas

dy =f^^c dx est une quantité infinie ou finie, et la fonction^ éprouve une solution de continuité du premier ordre ; mais dans leifoisième cas preste une quantité infiniment petite, et/ n'éprouve qu'une solution de continuité du second

ordre. De ii)ême , si df = «-y^ passe par l'infini , le

d^y eoefficient différentiel du second ordre ^j-rdevient à plus

Torte raison infini ; mais l'inverse n'est pas généralement vrai , et ce coefficient différentiel ou la dérivée correspondante y".2: peut passer par l'infini , sans que

d'y t// = -y^ cesse d'être une quantité infiniment petite

fc premier ordre, et par conséquent sans que c^jr cesse d'être une quantité infiniment petite du second ordre ; auquel cas / ne subit qu'une solution de continuité du troisième ordre* l

L'équation

dj=fxdx ,

et celle qui s'en déduit [5i]

r— jro= / fxdr,

cessent d'offrir un sens quand la difTérentielle dj passe par l'infini , pour des valeurs de x comprises entre les limites de l'intégrale : ce qui suppose , d'après ce qu'on vient d'expliquer, non-seulement que /'.r devient infinie, mais encore que le produit f'x dx conserve une valeur infinie. Cependant, si fx désigne une fonction doùt la dérivée soit /'a:, de manière qu'on ait l'intégrale indéfinie

ffxdx=fx -^C, on en conclura

J^— jro=A— /^o, pour l'équation d'une courbe dont la courbe dérivée aurait pour ordonnéej-'=/^.r ,, et qui serait en outre assujettie à passer par le point (^To, jTo), mais dont l'ordonnée y passerait par l'infini , pour des valeurs de l'abscisse comprises entre x^ et x. L'expression y!r — fXo représenterait encore la différence des ordonnées ^,^"0, mais ne représenterait plus la somme des valeurs de la différentielle dy ^=^fx dx , entre les valeurs x^ , x de la variable indépendante. Nous reviendrons par la suite sur des exemples de ce cas exceptionnel , déjà présenté sous une autre forme [35] 9 et qu'il suffit de rappeler ici.

55. Par la même raison, nous nous contenterons d'indiquer rapidement la forme que prennent les théorèmes généraux sur les fonctions dérivées, démontrés dans le chapitre précédent, lorsqu'on y adapte la méthode et les notations du calcul infinitésimal.

i® Si l'on pose

y z=LU '\' V '\- w + etc. , u^ Vj Wj etc., désignant des fonctions d'une même variable indépendante :r, on a évidemment, en passant aux différentielles ,

dy=z du-\'dv'^dçv-^ etc.