THEORIE DES INFINIMENT PETITS
Ainsi la diflTérentielle d'une somme de fonctions est la somme de leurs différentielles, le mot de somme devant être pris dans son acception algébrique. On en conclut
dy du dv dw
dx dx dx dx ' '
équation qui est l'expression du théorème sur les fonctions dérivées , démontré directement au n^ 89. On a inversement
/ fdx = I udx^ I vdx 4- / wdx -f- etc. ,
cequoo énonce en disant que l'intégrale définie d'une somme de fonctions est la somme de leurs intégrales deGnies , entre les mêmes limites.
Il est permis d'établir la même identité entre les intégrales indéfinies , et d'écrire
jydx zmj udx -}- / vdx -f^y wdx -[- etc. (4) Pour l'intelligence de cette dernière formule , admettons qu'on ait trouvé séparément
jydx-=zYx'\'CjJudxz=:^fx'\'C yJvdx^zf^x-i^Ci ,
fwdx =/,.r -f- c, , etc. , C,c, c,, c^^'etc.j désignant des constantes arbitraires : d'après la formule (4) il faudra qu'on puisse , par un choix convenable de la constante C , établir l'identité
Fa:-(-C=:/a:H-c-f-/^ + c.+/:,r+c, + etc.,
quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes c, c,,c,,etc. ,. .
a*^ La différentielle du produit de deux fductions est la somme des produits qu'on obtient en multipliant chjacune des fonctions par la différentielle de l'autre. En effet l'on a
d^ uv =^ {u-^ du) (v-f- dv) — uv , d'où, en développant, et en négligeant l'infiniment petit T. I. 7
du second ordre du dv vis-à-vis des infiniment petits du
premier ordre,
d .uv^vdu-^udv. (5)
Si Ton passe aux coefficients différentiels , il viendra
d.uv ^L ^^
dx rfj: ' dx '
ce qui est l'expression d'un autre théorème sur les fonctions dérivées , contenu dans Téquation {b) du n** cité. On met l'équation (5) sous la forme
d.uv du dv
uv u V ^
et l'on en conclut facilement
d.uvw du dv dw
— = 1 h — + etc. (6)
uvw u V w ^ ^
Si u est un nombre constant a, du devient nul, et l'on
a simplement
d.av ^nadv.
Inversement on aurait
/ avdx = a I vdxj
J X^ J Xo
et
f avdx = a f vdx , cette dernière équation étant interprétée comme la formule (4).
Soit
u = ç^, V == ^.r, ai;= ç^. ^x =^fx :
l'équation (5) prendra la forme
fxdx = ^x.ff'xdx + tfx. ^'xdx ,
d'où
<fx.^xdx=fxdx — ^x.tfxdxj (7)
et en intégrant
I (fx.^'xdx^fx—fx^—J^ ^x . (f'xdx ,
