THÉORIE DIS IICFINIMENT PETITS

OU bien

/ ffX.^'xdx=LifX.ifX — (fX^.ifXo — 1 ifx.t^^'xdx. (8)

De cette manière, l'intégration de la fonction (fx . if'xdx a été ramenée à l'intégration de la fonction if'x d[r (ce qui fait connaître la fonction ^ ) , et à celle de la fonction ^ac . tfx dx : Tune et l'autre intégration pouvant dans beaucoup de cas s'opérer plus simplement que celle de la fonction proposée. Ce procédé , dont nous verrons que l'on fait le plus fréquent usage dans le calcul intégral, est connu sous le nom ^intégration par parties. Si l'on prend les intégrales des deux membres de l'équation (7) , sans égard aux limites , il viendra

If^x . ^x dx =^fx — j^x . (fxdx^ ou

f^x. ^'xdx=L (fx . i(X — pfx . ^xdx . (9) Il serait inutile d'ajouter une constante arbitraire à rintégrale du terme /^o; dxy parce qu'elle se confond avec la constante arbitraire qui accompagne nécessaire*

ment l'intégrale indéfiniey ij^j; . f^^'xdx. Par ce moyen , chaque membre de l'identité (9) est censé accompagné d'une constante arbitraire , de façon que l'on puisse toujours disposer de la valeur de l'une des constantes pour établir l'identité , quelle ^ue soit la valeur numérique assignée arbitrairement à l'autre constante , comme nous l'avons expliqué au sujet de k formule (4) • 3^ Soit

r uv =z r . ou V = — :

il viendra , par l'équation (5) ,

, d.uv — vdu , r udr — rdu , ^ œv =r , ou a . — = . (10)

Dans le cas de r = i , on a

«. — = r-. (il)

56. Nous avons, dans tout ce qui précède, traité j comme une fonction immédiate de la variable indépendante X : SX X était elle-même une fonction de la variable t^ et qu'on eût à la fois

jr=ifx, X^^f^t,

la différentielle dx cesserait d'être constante et serait donnée par l'équation

dx-^^t . dtj d'où l'on tirerait

dj^zfx. (^'t .dt^ ou bien , en passant aux coefficients différentiels , dy ., , df dx

équation qui est l'expression de la règle pour la dérivalion des fonctions médiates , déjà établie [ l\o ]. Il n'y a aucune difficulté à la généraliser , en supposant un nombre quelconque de variables intermédiaires entre ^ et ^.