DIFFÉREUTTIATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

simale^ comme cela se pratique dans les calculs de précision, et si l'arc est exprimé en secondes par le nombre X", le nombre x se déterminera par la proportion

(l'où

Oa a souvent besoin de connaître la valeur en degrés. de l'arc pour lequel x=i 1 , ou dont la longueur est égale à celle du rayon du cercle. Cette valeur est 57*i7'44"8i =2o6264",8i.

On tire des équations (i) et (c) :

rf\ sinx . rf* . cos j:

ainsi, les deux fonctions j^=zs\n x, ^-=€0$ x jouissent (Tune propriété commune et fort remarquable, exprimée par l'équation

cby

De là on conclut immédiatement

i^» . sin x ' . rf'* . cos X , \

—7-7 — c= ± sm a: , -, — : — . = ± cos x , j

rf^'+\sina: . rf*«+'cos:r . \ ^ ^

~-^r:îr — = ±cosd:, = — 7-r — =z q; sm a: , \

les signes supérieurs ou inférieurs devant être choisis selon que le nombre entier / est pair ou impair.

68. Les exemples suivants suffiront pour indiquer la marche à suivre dans la difTérentiation des fonctions complexes.

Soit proposé de différentier :

On fera ax^ + b=:u ,

d'où

/= u^ ^ df= nu^~^ du , du = maxi^"" dx ,

et enfin

dy = mna {ax^ 4- A)"*" x^"^ dx.

a° y = log. sinx.

On posera sin ^ = i/ ,

d'oïl

j= log u ^ dy=. — ^ da=z cos x dx ,

et finalement

, dx

tang:i:

3** /=log jj; + l/i+«'j-

On emploiera deux variables intermédiaires

ce qui: donnera

rf;^ = — , du-=idx + — y= ^ dv =z 2 X dx,

et après toutes réductions,

, dx

J/r' — a,TT cos a: 4- r" On posera

u-=f^ — a rr' cos :c 4- r'» , d'où

r == — rr ^ dY:=z r , du z=r ^tt' sin X i

et par suite

, rr' sin x dx

dy=z

(r* — 2 rr cos x + '''Oi^