MOIVRE ET NOTIONS SUR LA THÉORIE DES SECTIONS ANGULAIRES

J i". Comparaison des transcendantes logarithmiques , exponentielles et circulaires.

69. Dans le chapitre qui précède , on a donné les règles pour la difTérentiation des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires, qui sont les seules fonctions transcendantes que Ton considère dans les parties élémentaires des mathématiques; mais ce sujet demande à être étudié plus à fond et sous des rapports divers, parce qu'il sert de fondement aux calculs de l'analyse supérieure.

Nous avons vu que Neper était parti d'une relation équivalente à l'équation différentielle

pour définir la fonction exponentielle

ou la fonction logarithmique qui en est l'inverse, X = logj.

En effet, cette équation différentielle , jointe à la con- Ation que x s'évanouisse pour^crzi, caractérise essentiellement l'une et l'autre fonction transcendante, en fixant la loi* très-simple d'après laquelle ces fonctions varient sans discontinuité. Les définitions élémentaires qu'on donne des logarithmes en arithmétique et en

alg^re, n'eu sont que des conséquences , et n'expriment j par comparaison j que des propriétés secondaires de la fonction logarithmique.

Il est facile de se rendre compte y d'après la foime de l'équation (a), du rôle que doit jouer la fonction exponentielle dans l'expression d'une foule de phénomènes naturels, et notamment de ceux qui pourraient se classer sous la dénomination générique de phénomènes d'absorption ou d'extinction graduelle. Que l'on se représente un corps mû dans un milieu résistant qui lui enlève sans cesse une partie de sa vitesse. La résistance du miheu, ou l'absorption de vitesse dans un instant infiniment petit , dépend évidemment de la vitesse du corps : elle croît avec cette vitesse, s'évanouit quand la vitesse est nulle, reste très-petite quand la vitesse est très-petite, et, par conséquent [5], pour de très-petites valeurs de la vitesse , est sensiblement proportionnelle à la vite^e du corps en chaque instant. On a donc une équation de la forme

y désignant la vitesse supposée très-petite, t le temps, et k un certain coefficient constant. Or, cette équation se change en

dx

quand on pose x= — fct; et si l'on prend pour unité la valeur de jr au moment où l'on a i:=o, ou ax=o, il résultera de cette dernière équation

/ = d*= e-**, ou^z= — ^logj.

Un raisonnement semblable s'appliquerait à l'extinction progressive de la lumière et de la chaleur dans des mi-

lieux absorbants , aux déperditions de chaleur et d'électricité par le rayonnement des surfaces ou par le contact d'un milieu ambiant, et à tous les phénomènes analogues.

70. Suivant la. notation des intégrales définies que nous avons fait connaître [5i], on peut écrire

ou

La fonction logarithmique n'est donc qu'une intégrale définie, et nous l'avons qualifiée de transcendante, non-seulement parce qu'on n'a pas pu jusqu'ici l'exprimer algébriquement y mais parce qu'en effet, comme on le démontrera plus tard, elle ne comporte pas d'expression algébrique , explicite ou implicite. Cette considération doit nous mener dans la suite à regarder les intégrales définies comme constituant de nouvelles fonctions tianscendantes , toutes les fois qu'elles ne peuvent pas s'exprimer algébriquement, ou par d'autres transcendantes déjà définies.

Le nombre transcendant e est la valeur qu'il faut assigner à la limite supérieure de l'intégrale , pour que la valeur de cette intégrale soit égale à l'unité; ou, si l'on veut, c'est une constante déterminée implicitement par Téquation transcendante

71. Supposons que l'on cherche une fonction ç.r,. tftilç qu'on ait , pour toutes les valeurs de x et de 2,

cp j: + <p^ =: <p {x£) . (A) En faisant dans cette équation 2=0 , on en tirera

en sorte que, si ç (o) avait une valeur finie quelconque , 9 X serait nulle pour toutes les valeurs de x. Donc la fonction cherchée épcouve une solution de continuité pour x=X).

Faisons dans la même équation z=i, nous aurons <par + <p (i) = <p {x) , ou (p (i) = o . (Ax) On peut différentier l'équation {b) par rapport à o: et par rapport à >z , en y considérant successivement x et z comme variables, ce qui donnera, d'après les règles déjà exposées,

tf' x=zzff* (xz) , <f' z = x<f* (xz) y et par conséquent

X (^' X ZZZ Z (f^ z.

Donc la fonction ç est telle que le produit x fx ne dépend pas de j: , et qu'on a

xtf' x=z k ^ k désignant une constante quelconque, ou

dfs^x k .

dx X et puisque la fonction ç^ doit se réduire à zéro pour .m j , on conclut de cette dernière équation

(fxzrzkj — = ^loga:.

Effectivement , l'équation (i) exprime la propriété qui sert de base à l'usage vulgaire des logarithmes; et nous aurions pu, comme on vient de le voir, partir de cette équation , ou de la propriété qu'elle exprime , pour trouver la difTérentielle de la fonction logarithmique.