Soit une autre fonction ^ caractérisée par Té

quation

d'où l'on tire , en faisant z=o ,

Si Ton dîfTérentie réquation (c) par rapport kxet par rapport à z, il viendra

et par suite

Yx Y^

^x ^z kins\\ l'on doit avoir

■f-^ =: a , ou —7— = « J; JT

^x dx ^

(f désignant une constante quelconque que nous supposerons d'abord réelle. Or , nous savons par ce qui précède que la fonction de x qui satisfait à cette équation difTérmtielle et à la condition ^ (o)=f , est

et, en effet, l'équation (c) n'est que là traduction de la règle fondatnentale du calcul des exposants; en sorte (juenous aurions pu partir de cette équation pour trouver directement là différentielle de la fonction exponentielle.

Supposons maifitenant que la constante a soit imaginaire, ou de la formé a-i-PlX^Hii : la fonction ^x sera elle>méme[i7] "^^ quantité imaginaire de la forme fx -^ix v/ZTi .

En effet, l'équation

rf . 4^^ = (a 4- p \/^\) ^x dx {d) peut être remplacée par

A • 4;^=(a+pl^— i) ^x^a: , avec une approximation d'autant plus grande que l'on prend pour tiX une fraction plus petite. Ainsi , à cause dei];(o)=i, si Ton prend, par exemple, Ar=o,ooi, cette valeur de A x étant regardée comme une quantité très-petite du premier ordre [44^^45], on aura, en négligeant les quantités très-petites du second ordre,

i^ (o,OOl) = I + 0,001 ( a -f- p l^ — I ) , ^ (0,002) î= [i + 0,001 (a -4- p )/ — I )]* , ^ (o,oo3) = [i 4- 0,001 ( a + P l^^)Y , etc. , et toutes ces valeurs de la fonction ^ sont réductibles à la forme

fx+vl/ — I .

Comme l'erreur commise par la substitution d'une différence finie A.r à la différentielle dx peut être indéfiiniment atténuée , il s'ensuit , non-seulement qu'il existe effectivement une fonction

ij; j7=/à? 4- fjrlx' — I , jouissant de la propriété de satisfaire aux: équations (c) et (cj , et par suite à l'équation (d) , mais encore que les fonctions réelles ^Tr, fr, qui entrent dans la composition de ^Xy peuvent être calculées numériquement, pour une valeur quelconque assignée à .r, avec une approximation indéfinie.

A cause de l'équation (c©) , on a

/(o) = i, f(o) = o, (e) et il vient, en vertu de l'équation (c),

(fv+fa:\/'^){/z+ fcv/'=l)=/(a;+z)+f(;c+2)|/^, d'où l'on conclut

fx.fz — ix. £2=:/(^ + «),|

formules dont les conséquences seront développées tout à l'heure.

Puisque l'équation (c) n'est que la traduction de la règle algébrique pour le calcul des exposants, il s'ensuit que nous pouvons désigner par ef^ , même lorsque la constante a est imaginaire , la fonction ^ x qui jouit de la propriété de satisfaire aux équations (c) et (cq) :

COMPARAISON DES TRAWSCBITDANTES. 127

car, bien que l'on ne puisse pas élever un nombre à une puissance imaginaire, et qu'ainsi l'expression ef^ , quand Qx est imaginaire , n'indique pas une opération arithmétique possible, exactement ou par approximation, cependant, lorsqu'on appliquera les règles du calcul algébrique à une telle expression, on se conformera à la nature de la fonction ^ qu'elle représente , et l'on arrivera nécessairement à un résultat exact. 73. La fonction transcendante y = sin â; ayant la propriété de satisfaire à l'équation différentielle

«fy == cos xdx ^ {g) ou

rfy = V/^I=7.d^r, {g) 00 peut faire abstraction de la signification géométrique attachée à la fonction /, et la caractériser par la double condition d'être nulle en même temps que x et décroître avec continuité suivant une loi exprimée par l'équation (§•'). On peut aussi envisager la fonction inverse comme une intégrale définie , et écrire

arcsmy ou en changeant de lettre

p dy

ttre

/ * dx

arc sm a: = # . ^ >

en sorte que le nombre transcendant tz sera déterminé par l'équation

/^ dx

128 LIVRE ir. — CHAPITRE II.

Les équations (g) et (^) coïncident pour les valeurs de y comprises entre — i et -f-i , ou pour les valeurs de X comprises entre — -j tt et + ^ ir; mais quand x vient à dépasser 7 tu, il faut, d'après ce que la trigonométrie nous enseigne sur le changement de signe du cosinus, remplacer l'équation (g') par

rfy =z= — l/i— y' . ttx . (g")

En effet, il est impossible que l'équation (g') subsiste pour des valeurs réelles de/, après que la variable j:, réputée indépendante et dont par conséquent rien ne gêne l'accroissement continu , vient à dépasser la valeur pour laquelle ^^'^=1 : car alors l'accroissement dx étant

positif, et le radical J/j ^^ étant pris positivement,

djr serait positif, d'où il résulterait que ^dépasse la valeur I , et qu'ainsi le radical ^| y» devient imaginaire ; ce qui ne peut arriver sans que d/- et par suite j prennent des valeurs imaginaires.

74. Mais , pour démontrer directement que l'on doit passer de l'équation (g^) à l'équation (^") , sans rien emprunter à la trigonométrie, ni dans cette démonstration, ni dans la définition de la fonction/, considérons deux fonctions îx^fx^ déterminées simultanément par le système des deux équations différentielles d . ix ^=-fx dx , (f) d ^fx=. — ix'dx , (/ ) jointes aux conditions

f(oj = o,/(o) = i. (4)

On tirera de ces équations

îxd .fx -i-fx d .fx == o , ou

irf.[(f:r)»H-(/r)»]=o-

et de là on conclut

(Cr )'+(>)• = €,

C désignant un nombre quelconque, indépendant de x. Mais les équations (J^) donnent

(fo)»+(/o)' = i;

donc

Cela posé, tant que fx passe, pour des valeurs crôîssaotes de x, de la valeur p à la valeur i , d.îx est positif ainsi que djc : àoncfx est positif en vertu de l'équation (/), et l'on a ^

ft = l/i— (fa:)* .

Désignons par ^ tu la valeur de x pour laquelle an a fx=:i, et par suite fx = o. En vertu de l'équation (y), d, fx est négatif, et fx va en décroissant, pour des valeurs croissantes de Xi^ tant que ix est positif; donc , prdes valeurs de x plus grandes que \ ir,/i:, aprèà avoir passé par zéro deviendra négatif, et sera égal à

Donc Ix croîtra et décroîtra symétk*iquement en deçà

et au delà de sa valeur maximum f (4 ir) = i, de sorte qu'on aura

Par conséquent

f(«)=f(o)=o,/(«)=^i, La variable. indépendante x venant à dépasser la va-^ leur X, et fx étant négatif, d. f x sera négatif et fx continuera à décroître en prenant des valeurs négatives. Or, comme fx ne change pas de valeur pour des valeurs de îx numériquement égales et de signes contrai-» fes, il en résulte encore que l'on a

f (w+z) = — f(Tr — J3) , «tpar suite

Lorsque x aura dépassé la valeur \Tz^fx redevien-

dvsL positif y îx recommencera à croître algébriquement en passant par des valeurs numériques de plus en plus petites; et par la raison déjà indiquée il décroîtra et croîtra symétriquement, en deçà et au delà de sa valeur minimum f (1^)=^ — i, de façon qu'il viendra

et enfin

f(2TC) = f(Tr)=:0,/(2'7c)=I .

En ce moment, les valeurs de fx et de fx redevenant ce qu'elles étaient pour x=Oj f (x) repassera par la même série de valeurs également espacées, et l'intervalle de la période sera égal à 27r.

On discuterait de même la marche périodique de la fonction f, et l'on étendrait cette discussion aux valeurs négatives de x.

Ainsi, la règle pour le changement révolutif des signes des sinus et cosinus, qui n'était établie en trigonométrie que par induction, et par la vérification des formules lorsqu'on les étend, d'après cette règle, aux arcs plus grands que le quadrant, ou même plus grands qu'une circonférence entière, dérive en effet de la loi de génération de ces fonctions, abstraction faite de toute signification géométrique attribuée à la variable X et aux fonctions qui en dépendent.