Considérons la fonction

^x = cos x H- sin :r . *^— -i :

la différentiation donnera ^

Yx =:= — sin a: + cos a: V^ — x =<|/:r . ^ — i , ou

D'ailleurs, la fonction '^x ^e réduit à l'unité pour

x=z4)i donc [7a] la fonctioa ^x peut se représenter par e '^-'^ et ron a cette formule fondamentale

c*^^=^:=: ces X + sin ;r . V^ — 1 . (A) Il est bien évident en effet que les fonctions cos x, sin x jouissent des propriétés qui doivent appartenir aux fonctionsyo:, f ^, en vertu des équations (e) et (/).

En changeant le signe du radical dans l'équation (Â)^ on aura

er-'^^^ =zcosx — sin:c .J/ — i , d'où Ton conclut

cos or = 7 1

sin X = . I

Ces formules, sans cesse employées dans l'analyse, ont été publiées pour la première fois par Euler, qui les attribue à son maître Jean Bernoulli.

On exprimerait de même en exponentielles imaginaires toutes les autres fonctions trigonométriques ; par exemple :