L'équation (A) donne encore

a:l/'II7==:log (cosx+sinar. VlTT)et si l'on fait j;z=2i(7r,N/'désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif, on en tirera log . I = aj^ s/"^ .

Ainsi, la signification des exposants imaginaires, et ; par suite celle des logarithmes imaginaires étant fixée , il en résulte que Tunité a une infinité de logarithmes imaginaires , en outre dii logarithme réel zéro correspondant à i^o. Il faut aussi en conclure qu'un nombre

positif quelconque a une infinité de logarithmes imaginaires ; car, en vertu de l'équation identique

; a = a XI,

j on aura

loga=(loga) 4-logx = (loga) -f- 2/^ V^-i ,

(log à) désignant le logarithme réel de a. On trouverait de là même manière

log(— a)=(loga) + log(— i)=(loga) + (iiï^i)7ci/'::::r> et cette formule montre que tous les logarithmes des nombres négatifs sont affectés dMmaginarité. Enfin l'on aurait ^'U ^

log(v/-r)=^^^v/irr,

log (— v/37) = ^^^^^ v/=T ,

valeurs qui restent imaginaires , quel que soit L

Il n'y a pas, dans l'analyse mathématique, de fait

V plus remarquable que cette liaison inattendue qui s'établît, comme une conséquence de l'emploi du signe algébrique V/^, d'une part, entre les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques , d'autre part, entre les logarithmes et les arcs de cercle : c'est-àî dire entre des fonctions si diverses de nature et d'ori-

^ ! gine, tant qu'on ne remonte pas à la loi qui régit leurs accroissements différentiels.

S a. Formule de Moivre et notions sur la théorie des sections angulaires.

77. De l'équation (A) on déduit, en désignant par /^ un nombre entier positif ,

^«rv'ZT -:=. cos nx + sin nx . 1/H7 ,

THiORIK DES SECTIONS ANGULAIRES. 133

et par conséquent

[cosx 4- sin X . v/— i)** = cos na:+ sin nx . V^~i . (C) Cette équation se décompose en deux autres, comme toutes celles qui renferment à la fois des termes réels et des termes imaginaires. Ainsi , pour n = a^ on trouve (cos'j:— sin' j74-a sin j;cos j; . v/— i =cos ax+sin 2X. V^~iy ce qui équivaut aux deux équations bien connues : sin 2 or = a sin a: cos x , eos aa:=cos»jr — sin'x .

Le même calcul donnerait, pour n=3j sin 3 or = 3 cos' ^ — sin' x , cos3jr=cos^ j7 — 3 cosorsin'^r .

Afin de généraliser ces résultats , nous remarquerons que l'équation (C) donne, par le changement de signe du radical ,

(cosa: — sin a: . l/II7)*=cos/iar — sin/tx. l/HI , ce qui conduit aux expressions

(cos Jî H- sin a:. v/IH7)'* + (cos:r — sinar.l/Hï)*

cos/trzz:^ ^ ^ ,

rcos:rH-sinar. V'^'^^Y — (cos:r — sin x. \/~j)n

5in/u?=i — -è= i .

£d développant les puissances par la formuîe du binôme, on fait disparaître les imaginaires, et il vient:

/if/i— i) . ,

cos 710:== cos" X ^ cos'*~»a? sm' x

n(n — lY/i — a)/i — 3) * . , r^v

H- -^^- ^ ^ \ ^cos"-*a:sm*a:— etc. , (D)

dn — il(/î— a) , . , A^x

8iii;u:=:;icos*~'xsma: ^ ^^-« cos»-^a:sm^;r-hetc. (E)

Ces deux formules ne comprennent qu'un nombre fini

détenues, toutes les fois que n est un nombre entier

positif, comme nous le supposons ici.