Soit, pour la simplicité du calcul

cos X + sin X \/ZZl = u , cos x — • sin ^ l/H7 "=. v y

134 LIVRE lï. CHAPITRE II.

d'oîi

uv=z I , M-f-?; = a cos^, m— -2; = » sin x l/HT : la formule du binôme donné , toujours dans le cas d'un exposant n entier et positif,

( 2 cos^ Y=i(u~v-vY=iu^ + -tt" ~ ' t; H — ^^ ' 1*^

OU bien , à cause de w (/= i , (2 cos xY =zu^ + ^u!^^ H — i ^ M*»-^ +

Mais on a d'ailleurs i£* = cos nx + siTLnx \/ZZl , 2/*=cos nx — sin nx l/HT : donc

(2 cos Jî)**=cos wa?+wcos(« — 2)rH — ^ "^ ^cos {n — 4)^4-

-J — ^^ cos {n — 4) :f 4- /i cos {n — 2} x + cos nx

+ 4/— I sîn/2a:4-/isin(n— 2)a:-h-^ ^sin(/i— 4)^aH-....

^ -^sin(/i-4)^"~'»sin(/i— 2)j?— sm/ia: . {m)

La partie réelle du second membre est formée de termes tous égaux deux à deux, à l'exception du terme moyen , dans le cas où n est pair : par la même raison , la partie imaginaire est formée de termes qui se détruisent deux à deux, le terme moyen s'évanouissant de lui-même si n est pair. Ainsi l'on a, pour les valeurs paires de n,

(2çosa:)"=2 1 cos nx+n cps(/i — ^)x'\- ^ ^cos{n — JS^x

-) — -COS :ix + , (F.)

THl£ORl£ DES SECTIONS ANGULAIRES. 135

et pour les valeurs impaires de cet exposant, (2C0sar)"=:a j cos nx-^ncos^n — 2)x-| — ^ -cosÇn — 4)^—

H ^ ^coso: I . (F.)

Od trouve de même, selon que n est pair ou impair,

' ^ ^ i.a =cos;iar — ncos(n — a)ar+— ^ Uos(n — 4)^

+ i/— , Isii

,.=p/icos (n— a) j:±: cos na:

sm/ior — nsirï(n — a) j:H — ^-- sm(/i— 4)-^ — • • •

±nain(n — a)âcpsin/ti2r . {m')

Dans le cas où n est pair, la série qui multiplie (/^ — i, dans le dernier membre de l'équation , s'évanouit comme précédemment; les termes de la partie réelle s'accouplent, à l'exception du terme moyen, et Ton a

'-ijïf Minj: J =a|cos/iar— /icos(/i— a)j7-|- -^^ ^cos(/i— 4)*-

± ; ^cosa^ Iq; ,(tij

formule dans laquelle il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs selon que - est pair ou impair.

Dans le cas où n est impair, c'est la partie réelle du dernier membre de l'équation {m'\ dont les termes se

détruisent deux à deux, et la partie imaginaire dont les termes s'accouplent. Après qu'on a divisé de part et d'autre par l/^, il vient

f —I j » ( 2sirïxj =2 sin/ia?— /îsin(/i— 2)^+— ^^ sin{n — 4)^ —

± — — — -sinar . (G,)

79. La formule (C), due à Moivre, et qui porte le . nom de ce géomètre , fournit inmiédiatement l'expres- : sion des racines des équations de la forme / a:^ipi-=o,

auxquelles on sait que peuvent se ramener toutes les équations binômes.

Prenons d'abord l'équation

^ — 1=0, {n) et posons

jc =:cos<p 4- sin <p . W^IIIÏ :

cet angle <p devra être déterminé de manière à satisfaire à l'équation

cos «9 + sin wcp . j/ZIi = i , qui se décompose en deux autres

cos /ijp = I , sin /icp = o , auxquelles on satisfait simultanément si l'on prend

(f = , et par conséquent

2JTC . 211: .V

a:=cos h sm • V—i , (p)

i désignant un nombre entier quelconque.

Il est clair que lorsqu'on attribue à i les n valeurs,

entières

OQ â autant de valeurs différentes pour .r; tandis que , si l'on attribue à / des valeurs entières , soit négatives , soit positives , mais numériquement plus grandes que /2—I, on retombe sur des valeurs de x déjà obtenues. Ceci résulte de la formule

cos sin

2(^/i-hr)7c cos / , 2riç\ cos j un

n sin V n / sin ( »

OÙ r désigne un nombre entier, positif et plus petit ^^n, et k un nombre entier quelconque, positif bu négatif.

Le nombre des racines distinctes données par la formule (/?) est donc le même que celui qui exprime le Jegré de Féquation (/ï), conformément à la théorie des équations algébriques.

La valeur /::^o donne la racine réelle j;= i, et si /2 est pair, auquel cas — i est une autre racine réelle de

l'équation, cette racine correspond à la valeur /=-.

Toutes les autres valeurs de / donnent des racines ima-

Oq sait qu'une équation algébrique à coefficients réels a toutes ses racines imaginaires conjujguées , de manière que le produit dfe deux racines conjuguées

a H- p v/37 , a— p ï/ZT est une quantité réelle positive a*+P^. La formule {p) satisfait à cette condition ; car on a

2(n — rV 2m . 2(71 — r)w . aTic

cos-^ £- =cos — , sm— ^^ ^ = — sm >

oe façon que la racine imaginaire donnée par la valeur

^ se conjugue avec celle qui correspond à i=n — r.

On peut donc exprimer toutes les racines de l'équation

Wî ou toutes les racines de Vimitéy par la formule

jjzzrcos it sin • l/— I ,

\ dans laquelle on n^atlribuera à i que les valeurs entières

' de o à -inclusivement si n est pair , et de o à si n

est impair.

1 Les facteurs réels du second degré , qui sont le pro- I duit de deux facteurs imaginaires conjugués , se trouvent I compris dans la formule

œ^ — Q^x cos h I

Cette proposition , à laquelle on peut donner facilement un énoncé géométrique, est connue sous le nom de Théorème de Côtes.

L'équation

a:» H- I = o , donne lieu à des formules analogues que l'on obtient en ; écrivant dans celles qui précèdent li+i au lieu de ii. Réciproquement, toutes les fois que Ton saura résoudre algébriquement une équation binôme

^zp I z= o , c'est-à-dire exprimer ses racines imaginaires par un système de radicaux algébriques , on aura une expression algébrique des lignes trigpnométriques sin J a/ic sin l (2/4-1)^

cos \ n ' cos I n '

et en particulier des lignes

air aie

sm — , cos — n n

Donc, si ces racines imaginaires s'expriment par un système de radicaux du second degré, que l'on puisse construire avec la règle et le compas ^ comme on l'enseigne dans les éléments de la géométrie analytique , on

pourra coDstruîre avec la règle et le compas le sinus ou le cosinus de Tare qui est la rl^ partie de la circon- , ërence, ety par conséquent, diviser géométriquement' (daos le sens des anciens) la circonférence en n parties égales. On voit par là comment ce problème, si célèbre • chez les géomètres grecs, se rattache à la théorie de la \ resolution algébrique des équations, qui elle-même se \ lie étroitement à la théorie des combinaisons et à celle ' des nombres. Mais ce n'est pas ici le lieu d'insister sur ces rapprochements très -curieux, qui intéressent platôt la philosophie des mathématiques que leur appli- ' cation aux autres sciences positives. |

80. On résout, à l'aide des tables trigonométiûques, Don-seulement , comme on vient de le voir, les équations binômes , mais encore les équations trinômes de la forme

J3*~ — 2aj8'* + ft=o; (y) car, si l'on en tire pour >z' une valeur réelle, elles se ramèneront immédiatement à des équations binômes du Jegré n; et dans le cas contraire, où l'on a a^<b^ on pourra poser

b.x^ — r==:±:cosX,

^désignant un arc plus petit que le quadrant : au moyen Je quoi l'équation (^) prendra l'une des deux formes a?^ — 2 3é^ cos X H- 1 = o , (y,) «*** -h a a:* cos X + I = o . (y,) Admettons que ce soit la première , et posons X = cos <p + sin <p . l/'HT ; « valeur de l'angle ç devra satisfaire aux conditions,

cos 2 7iCp 2 cos Wp . cos X -f- X = O ,

sîn 2 izf — a sin /Z(p . cos X = o ; ^^elle y satisfera effectivement si l'on prend

cos W(p = cos A , d ou (p = ,

/ désignant un nombrç entier quelconque. Ainsi les in racines de la proposée sont données par la formule

x:=. cos hsm . l/— I ,

dans laquelle on attribuera successivement à i toutes les

valeurs entières, de o à n — i inclusivement. Les facteurs

réels de l'équation {q^ sont représentés par la formule

x" — IX cos h I •

Il faudrait remplacer dans les formules précédentes li par 2/+ 1, afin de les adapter à la résolution de l'équation {q^,

81. Lorsque dans la formule de Moivre (cos x-\- ûnx. y^'^y = cos nx + sin /lo; . 1/37 (C) on attribue à n des valeurs entières, chaque membre de l'équation ne comporte qu'une seule valeur, et l'application de la formule n'exige aucune remarque nouvelle ;

mais si l'exposant n est une fraction rationnelle -, que

l'on doit toujours supposer réduite à sa plus simple expression, le premier membre de l'équation comporte, d'après la théorie des racines de l'unité , q valeurs distinctes que l'on obtiendra en multipliant successivement le second membre par les racines de l'unité, du degré y Or, d'après ce qui précède, ces racines sont données par la formule

cos h sm — . V/— I.

Donc , pour que dans ce cas la formule de Moivre acquière la généralité qu'elle doit avoir, il faut écrire

(. \i f p ' p y — \( 2IW . 2j?ir cos.r4-sma:. V/— 1 \i^=\ cos-ar-f-sm^^.K — i jl cos f-sm J \ q q h q q