cos^- H sm^- . V

£n outre, puisque p est un nombre entier, premier

avec Çy on peut remplacer i par pij ce qui donnera cette

formule plus élégante

dans laquelle on attribuera à / toutes les valeurs entières, de o à g — i inclusivement.

*82. Les formules (D), (E), (F.), (F.), (G.), (G,), qui servent à transformer les sinus et cosinus des multiples d'un arc en puissances des sinus et cosinus de l'arc simple, ou réciproquement, doivent recevoir des modifications analogues lorsque les indices des puissances sont des nombres fractionnaires; et ce point délicat de la théorie des sections angulaires a été mis dans un grand jour par l'intéressant mémoire que M. Poinsot a publié en iSaS, sous le titre de Recherches sur V analyse des sections angulaires. Voici quelques explications à ce sujet, que l'on pouira laisser de côté à une première lecture, comme étant moins essentielles que ce qui précède.

Soit ^xzrn cos n:t+n cos(/i— 2):c 4- ^-^ cos(/i-4)^ •+• etc. I

\^x=smnx + n sin(w-2)a:H- — — Um{n^4)x + etc. |

la formule (m) deviendra

(2 cos xy = 4>a? + iira:»/II7 ; et cette formule pourra être censée établie , d'après les calculs du n* 78, pour des valeurs quelconques de l'exposant n , si l'on admet que la formule du binôme subsiste pour des valeurs quelconques de l'exposant : ainsi

que cela se prouve dans la plupart des traités d'algèbre, iadépendamment de la démonstration par le calcul différentiel , qui doit être donnée plus loin.

Quand n est un nombre positif entier , la fonction W.r est nulle; la fonction ^x est composée d'un nombre fini de termes qui s'ajoutent deux à deux, selon qu'on l'a expliqué : mais en général les seconds membres des équations (H) sont des séries formées d'un nombre infini de termes.

Donnons à /ï la valeur fractionnaire-^ (jo, q désignant des nombres entiers, positifs et premiers entre

eux ) : la quantité radicale

p {^cosxy (r)

admettra q valeurs distinctes, comprises dans l'expression

l^x-^'WxV'l^^ Tcos-a/TC + sin -.a/wï/'IIT j,

qui équivaut, d'après ce qu'on a vu plus haut, à

i^x + awir) + ^{x + 2«iç) . y/"^} , / devant recevoir toutes les valeurs entières ^ de o à q — i inclusivement.

Supposons que cos x soit positif, et désignons par X la valeur réelle et positive du radical (r) : on obtiendra les autres valeurs du radical en multipliant X par les racines de l'unité , autres que i ; c'est-à-dire que les q valeurs du radical seront comprises dans l'expression

X(cos - . ai'w + «in - . aVic . V^I^) ,

sous la condition d'attribuer à i' toutes les valeurs entières de o à q — i inclusivement.

Donc, il sera toujours possible d'assigner entre ces limites aux nombres entiers U i àes valeurs telles que l'on ait

rcos?.2i%+sin^.2i'7C. v/:=7)=*Cr+2nc)+W(jî+2/x(l/^), {s) ou, ce qui est la même chose,

i^-i-Wx. l/HÏ) (cos ^. 2iw + sin ^. 2Z7C. v/^) ; (0

et la question est ramenée à déterminer les valeurs correspondantes des nombres i, i.

Faisons dans l'équation précédente x=x> : on a

iïr(o)=o, ^(o) = (i + i)S Xo = 2î^; Jonc iz=i\ et par conséquent la formule {s) devient

^^.a/TT + sin^. 2iX. v/^=0(^ + 2«i^) + W(^+ar7c). v/Hlï.

Comme on peut prendre maintenant i==o , il en faut conclure que Ton a , pour toutes les valeurs de x comprises entre — | ir et ^ ir, qui font de cos x une fraction positive,

Oa:=X, Wx = o, (a)

et plus généralement on a entre ces limites , à cause derindépendimce des deux parties réelles et ûnagînaises,

#(a:-4-2Mr) = Xcos^.aJTC,j

iir(a:-f.2rtc)=:X8in^.aiic. \

*83. Supposons maintenant que cos x soit négatif

(ortombam entre \ w et \ ir), et désignons par X la

valeur réelle et positive du radical ( — 2 cos x) « :

on aura (2C08ttr)ï=X(--I)y=.X[cos^(2^"-M>c+sin^(2^'•+.I)1^.|/3i];

et, en conséquence , les équations (s) et {t) seront remplacées par

X[cos^ (2«' + i)ic + siii ^ {ni' + i )w . l/ZT] =

0(a: + a/Tu) + W{a: + azTc) . l/3T, (s') X[cos ^ (2«' + i)7C + sin ^ {ni' + i)x. V/~] =

{^x + Wx . l/^) (cos^ . 2^TC + sin ^ . 2«7C . l/HÏ). (^')

Les nombres i^ i continuent de comporter toutes les valeurs entières, de o à q — i inclusivement; et parmi ces valeurs il s'agit de savoir quelles sont celles qui se correspondent.

Or , si l'on prend x — *ï\, , tous les cosinus et les sinus qui entrent dans les seconds membres des équations (H),

devenant égaux à cos-tc, sin-ic, ou trouve

^(7ï:)=(i+i)y COS^Tt,

iïr(ic)==:(i+i>sin^ir,

et X^ a pour valeur a g; de sorte qu'on tire de l'équation (^), après la suppression du facteur commun 29 ,

cos ~ (i{+ i)TQ + sin - (2^' + iV . V/IT?

= (cos ^ TU + sin - 7C . V^^) (cos - 2/1C + sin ^ 2£X . [/^^i

= cos - (2/+ i)7r + sin^ (a* + i)w. \/~: d'où il faut conclure i=ij et par suite X[cos - (2^^- i)'7C+sin -(2«+ 1 )7r. v/IIÎ]=*(:c+2/7c)-f-W(x-h2r7r) . \y

Cette dernière équation se décompose dans les deux suivantes

V(a;+2r7r)=Xsin^(2/-+- 1 )ip ; et quand on pose /= o , il vient ^^=^Xcos- ic ,

Wa:=Xsin^ip ,

* 84. Nous avons supposé , dans tout ce qui précède , que les fonctions ^,W ont une valeur déterminée , pour toutes les valeurs de ^, en vertu des équations (H), ou qu'on pourrait construire avec une approximation indéfinie, au moyen de ces équations seulement , les courbes ayant pour abscisse a: et pour ordonnées ^Xj Wa:. Si cette condition essentielle n'était pas satisfaite , c'est-à- (iire, si les seconds membres des équations (H) ne constituaient pas des séries convergentes , les . formules obtenues deviendraient illusoires et n'offriraient réellement aucun sens déterminé. Or, la condition exigée se vérifie, comme M. Cauchy l'a fait voir , tant qu'on n'attribue à l'exposant n que des valeurs positives.

En effet l'on a , par la formule du binôme ,

(•-)*=x-- .e— ^^ .e>A__A__J..3 etc,.(e)

le développement ne s'arrêtant que pour les valeurs entières et positives de /^, et conduisant , pour les autres valeurs de l'exposant , à une série infinie. Soit ji le terme de cette série qui en a i avant lui : il viendra

Ti « -h I I

donc, à mesure que l'on fait croître ij la valeur du rapport (p) converge vers une limite numériquement plus petite ou plus grande que l'unité, selon que la valeur numérique de e est elle-même inférieure ou supérieure à I. Donc [26] la série (e) ^st convergente pour toutes les valeurs de e numériquement plus petites que l'unité. En outre , tous les termes de cette série , pour lesquels l'indice /est supérieur à la valeur numérique de n-\-i, se trouvent évidemment affectés du même signe, qui est celui du terme

n (i— /i) (2— Tt) (y— ^)^ gv+,

V désignant le nombre entier immédiatement inférieur à n. Donc, à la limite 6= i , la sérte (e) est convergente ou divergente, selon que la quantité ( i — e)" converge vers une limite finie ou nulle, ou vers une limite infî* nie , tandis que e converge vers l'unité. Or, quand l'exposant n est positif, on a

lim. (i— £)»*=( i — i)'*=o, et conséquemment il vient, pour les valeurs positives de /i,

.0 = 1 ^ ^ ^^ ^■^; — etc. {h)

Mais, puisque la série (A), dont tous les termes, à partir d'un certain rang, ont le même signe, se trouve convergente, les séries (H) que l'on obtient en multipliant chaque terme delà série (A) par un facteur, tantôt positif, tantôt négatif, mais toujours numériquement plus petit que l'unité, sont à plus forte raison convergentes, tant que le paramètre n conserve une valeur positive , et quelle que soit la valeur de x.

Les formules des deux numéros précédents ont pour

résultat utile de faire connaître les valeurs des fonction ^Xy ^x, sans qu'on ait besoin de recourir aux calculs d'approximation fondés sur l'emploi des séries. Ainsi, les fonctions ^Xj ^x étant données par les équations (tt) pour les valeurs de x comprises entre — jiç et -^x, et par les équations (w') pour les valeurs de x comprises entre ^% et |nr , se trouveront déterminées , en vertu des formules (y) et (^'), pour toutes les valeurs positives de 2- <[2q — -î)^; et comme on a d'ailleurs, d'après la forme des équations (H),

^x = ^(x ± akqic) ,

Wx = W[xztiiiqTç), ^désignant un nombre entier quelconque^ il s'ensuit que les valeurs des fonctions ^x, ^x seront connues pour toutes les valeurs de x; ou qu'on aura, pour toutes les valeurs de .t:, les limites vers lesquelles convergent les sommes des séries

cos^a:-f-^e.cos(^-2 )ar+3-^2 ^6\cos(^-4 )a:+etc.,

sin?ar-4--e.sin( ?-2 )ar+2-2 €\sin( ^-4 )j:+etc.,

quand le nombre s , en restant plus petit que i , converge indéfiniment vers l'unité.

Soit, par exemple, n=.-:=\y on aura pour les valeurs de X comprises

entre — ip et - ir , <&ar= y acosa:, 2 2 '

entre -iret-T, Oj?=^\/ — 2cosj:.cos ^ 7?= — v acosx. 2 2 ;5 2 »

entre -ic et -ic, 0^=v 2Cos:r . co« x7r= — v acosj:,

entre -icet ^tt, 0:c= v — acosx.cos ir= v acoso:? entre - ir et -ic, 0^= y 2cosj: . cos ô7t= — v acoso^-,

II 3/ 5 I 3y

entre - ic et — w, 0.r= v — 2Cos^.cos ?^ 7r= — v 2Cosa::

après quoi les valeurs de ^x repasseront périodiquement'par les mêmes valeurs. En conséquence, la courbe périodique dont ^x est Fordonnée a la forme indiquée par la fig. 29.