RECHERCHE DE LEURS VALEURS MAXJMA ET MINIMA

S 1*'. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions explicites d'une seule variable.

85. Nous traiterons dans ce chapitre de deux applications importantes du calcul difFérentiel, et d'abord de celle qui consiste à trouver la valeur d'une fonction de Xy quand elle se présente, pour une valeur particulière de a;, sous la forme indéterminée -• ' o

Le problème revient [28] à déterminer la limite vers laquelle converge la fonction

lorsque x converge vers la valeur x^^^ et qu'en même temps les fonctions fx, F.r convergent toutes deux vers zéro.

Or, on a

et pour la valeur x^ qui fait évanouir /'.r et Fx,

f .AN ^-^^ A^

d'où, en passant à la limite,

Un raisonnement absolument semblable fait voir que, si les fonctions y '.r, F'^ étaient dans le cas des fonctions J'Xy FXf c'est-à-dire, si elles s'évanouissaient simultanément pour x=x\n on aurait

ec ainsi de suite.

La valeur de (f-x^^ ainsi déterniinée, peut être nulle ou infinie.

Si la valeur x rendait infinies les deux fonctions /a:, ¥x, elle ferait évanouir les fonctions I I Jx' Fi' qui ont respectivement pour dérivées du premier ordre fx F^^

{fx)^' (Fo:)»- Il viendrait donc

I , I fx, , Tx,

fx.'Yx—jj^^' {Yx:r^

équation d'où l'on tire

Yx^ ¥'x^ Nous en conclurons avec M. Cauchy que la règle pour trouver la valeur de <p.ro reste la même, quelle que

soit celle des deux formes indéterminées -, ± --, sous

laquelle se présente le rapport ——7'

86. On trouvera, en appliquant cette règle, et en la combinant avec les règles de difTérentiation données dans l'avant-dernier chapitre :

RÉSOLUTIOJV DES CAS d'iND^ERMINATIOIV. 151

i' pour j:=o,

^-=— =loga— logi = logQ) ,

— *^ ^ -^^ ^::: z=z2Sinx cos a:=:o .

cota: X

X — ûxix \ — cos 07 sin^c cos or i

x^ *xx^ 6x 6 6 '

sia^x 3sin»a:cosar 3sinj:(2cos'ar — sin^o;)

X — ^ins^ I — cos2^ asÎDS^ 3cosj:(acos^j? — 7sin*j?) 3

4cosaâ? a

2 pour xz=i I,

87. Supposons que la fonction F:r se réduise à Xy et que l'autre fonction fx jouisse de la propriété de devenir nulle ou infinie eu même temps que Xy on pourra être curieux de connaître le rapport qui subsiste entre cette fonction et la variable x^ quand Tune et l'autre deviennent nulles ou infinies. Ce problème rentre dans celui qui vient d'être traité : ainsi l'on trouvera, pour •r=o,

I — • cos X

et pour x=±cc ,

152 LIVBE II. CHAPITRE ill.

, log X I

On énonce ces résultats en disant que le sinus verse d'un arc infiniment petit est infiniment petit par rapport à cet arc; et que le logarithme d'un nombre infiniment grand est infiniment petit par rapport à ce nombre. Soit proposé de discuter la courbe qui a pour équation

les valeurs négatives de x rendent^ imaginaire, et l'ordonnée^ est positive ou négative selon que les valeurs positives de x sont > ou < i . Pour savoir ^quelle est la valeur Aej correspondant à .r=o, on fera

et il viendra

log z

Or, d'après ce qui précède, ^=o pour z=» ou pour x=:o; d'ailleurs on a

quantité qui devient infinie pour x^o^ en sorte que la courbe touche l'axe des jr à l'origine des coordonnées {Jig. 3o). On peut ajouter cet exemple à celui qui a déjà été donné [i6],de courbes transcendantes qui sont interrompues brusquement dans leur cours, sans qu'il y ait raccordement etitre deux branches de la même courbe, comme cela arrive toujours pour les courbes à équations algébriques.

88. S'il arrivait que toutes les dérivées de fx et de F/r devinssent nulles ou infinies en même temps que les fonctions dont elles dérivent, la méthode serait en défaut, et il faudrait déterminer la valeur de <p^„ à

RÉSOLUTION DES CAS D'iNDlÉTERMilCATlON. 153

l'aide de procédés particuliers. Si, par exemple, on

avait

quand on ferait j:=i, ces deux fonctions s'évanouiraient, et leurs dérivées de tous les ordres deviendraient simultanément infinies. Mais si nous posons x — i ^z, il viendra

£q multipliant les deux termes de la fraction par ï/T+5 + I — i/â , et supprimant le facteur \/z qui devient commun aux deux termes, on obtient

^^ W^â+T. I l/TTpi + i — V/i( ' expression qui donne

quand on y fait s^o, ou .r=i.

89. Nous savons qu'une fonction ne peut devenir infinie, pour une valeur particulière de la variable, sans que toutes ses dérivées deviennent simultanément infinies [35], et ainsi, le cas oii la méthode générale se trouve en défaut, doit se présenter toutes les fois que la valeur de x qui fait évanouir fx et Vx rend infinies fx et F'.r. Au contraire, on ne peut regarder que comme une exception singulière de la méthode (dufiwins pour les fonctions susceptibles d*une expression mathématique^, celle qui résulterait de l'évanouissement simultané des dérivées de tous les ordres des fonctions / et F. On a pourtant signalé des fonctions pour lesquelles cette exception se rencontre. Prenons

154 LIVRE lî. CHAPITRE 111.

a et n désignant des nombres positifs dont le premier est plus grand que l'unité : on aura

,7 n\oga.a ^^ ^„ , -Z^lnlosa n+i |

Quand on faitx=:o, la quantité

est infiniment petite ou nulle , ce qui met toutes les dérivées/''.r,/"ji', . . . . sous la forme — Posons

il viendra

et la valeur j:=o correspondra à 2=00 . Or, il est facile de voir que toute expression de la forme

(dans laquelle a^ m ^\.n désignent des nombres positifs et a un nombre plus grand que \\ est nulle pour 2=00 ; car si l'on applique à cet exemple la règle générale concernant la détermination des fonctions qui se présentent sous la forme indéterminée

on différentiera i fois de suite les deux termes de la. fraction, / étant le nombre entier immédiatement su— périeur à /w, et l'on aura pour z=oo ,

lUÉSOLOTlON I>£S CAS D'iNDÉTEBMlNATIOir. 155

ï étant un nombre constant , et <]/ z une fonction qui reste infinie quand z est infini. Par conséquent toutes les dérivées de la fonction y^ s'évanouiront, quand on jfera a:==o.

Si donc Ton donnait

i étant ainsi que a un nombre positif plus grand que luDité, et rî uu nombre positif aussi bien que n , les dérivées de tous les ordres des deux termes de la fraction

f^= — — b *»• s'évanouiraient simultanément pour x=Oy et l'on ne pourrait plus appliquer la règle générale. Dans le cas de n,^=zny il viendra

ep j?

et la valeur x=.o rendra çj: nulle ou infinie, selon qu OQ aura a > ou < é.

90. On trouve de la même manière que la valeur de la fonction

converge vers zéro , et que celle de la fonction

X « converge vers Tinfini quand on prend pour x une quan*

titë positive de plus en plus petite. Conséquemment la valeur de la fonction

qui se présente sous la forme -j quand on y fait ^=0,

est zéro ou l'infini^ selon qu'on y considère zéro comme la limite des x positifs ou comme celle des x négatifs. Ceci tient à une solution de continuité de la fonction /^ du genre de celles qui ont été signalées dans des fonctions analogues [16 e^ 87].

§ 2. Maxima et minima des fonctions explicites d'une seule variable.

91. Représentons-nous la succession des valeurs que prend la fonction y=.fx^ lorsqu'on donne à x toutes les valeurs possibles, sans que^ cesse de conserver une valeur réelle et finie. Si les valeurs dej^*, après avoir été croissantes, deviennent décroissantes,^ aura passé dans l'intervalle par une valeur plus grande que celles qui la précèdent et que celles qui la suivent immédiatement : cette valeur se' nomme un maximum. Au contraire, si les valeurs de^, après avoir diminué progressivement, viennent ensuite à augmenter progressivement, la valeur intermédiaire, plus petite que celles qui la précèdent et que celles qui la suivent immédiatement, se nomme un minimum. On voit qu'il est possible qu'une fonction n'ait ni maximum, ni minimuiriy ou qu'elle ait plusieurs maxima et minima, de manière v^xxn minimum tombe toujours entre deux maximu, et un mojcimum entre deux minima consécutifs. La question consiste à déterminer les valeurs de la véritable indépendante, s'il

MAXIMA ET MmiMA. 157

fo existe, auxquelles correspondent des maxima ou hminima de la fonction.

Admettons d'abord, pour plus declartë, que ni la fonction fx ni ses dérivées n'éprouvent de solution de continuité en même temps que l'une de ces fonctions atteiiit une valeur maximum ou minimum : il est évident, dans cette hypothèse, que la différentielle

djr mzf'x . dx change de signe, en devenant nulle, au moment du maximum ou an minimum àefx; quelle passe du positif lu négatif dans le cas du maximum^ et du négatif au positif dans le cas du minimum. Donc , la condition commune au maximum ei dM minimum àefx est exprimée par l'équation

/'i = o; (i) et il faut en outre pour le maximum que^'i: passe du positif au négatif, c'est-à-dire, soit une fonction décroissante quand a: croît , et par conséquent que rt>n ait f'x < o .

Par use raison semblable, il faut, dans le cas du mini-

mm, que la -valeur de x tirée de l'équation (i) vérifie

Imégalitë

Mais si fx s'évanouit, pour la même valeur de x ^uifait évanouir y*'x, la valeur de f'x qui est zéro, correspond à un maximum ou à un minimum de cette dernière fonction. Dans le premier cas^f'xest négative en deçà et au- delà de la valeur x, etfx est constamloent décroissante pour des valeurs croissantes de x ; tlans le second cas, f'x est positive en deçà et au delà ^ la valeur x, et fx est constamment croissante avec ^.'donc l'équation ^/'.r=o n'entraîne ni maximum ni

158 LIVRE II. CHAPITRE lïl.

minimum de /.r, si elle est accompagnée de l'équation

Or, par la même raison, l'équation /",r=o n'entraînera ni maximum ni minimum Ae f Xy si l'on a /'"^=o, et ûf'x passe elle-même par un maximum ou un minimum. Quand /".r passe par un maximum, f X est décroissante pour des valeurs croissantes de .r, passe conséquemment du positif au négatif en s'annulant, exfx passe par un maximum. On verrait de même que le minimum Ae f" x entraîne dans ce cas le minimum de /r.

Ponc, pour le cas où l'on a simultanément fx = o, f'x = o ,

fx ne passe par un maximum ou un minimum qu'autant quey*".r passe elle-même par un mcujcimum ou ud minimum, c'est-à-dire, qu'autant que l'on a

/-:r = o,/-^<o, ou bien

Dans ce cas, l'analogie conduit à dire que/'.r passe par un maximum ou un minimum du second ordre.

En généralisant ce raisonnement, on en conclut qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum de la fonction fx, pour une valeur donnée de x, qu'autant que le premier coefficient différentiel de la fonction , que cette valeur n'annule pas, est d'ordre pair. Il y a maximum ou minimum suivant que ce coefficient prend une valeur négative ou positive.

Tous ces résultats prennent une forme sensible lorsqu'on représente graphiquement la fonction par l'ordonnée d'une courbe. L'équation /'.r=o exprime que la tangente est parallèle à l'axe des abscisses: les inéga-

\[\kf"x<o^f"x>o expriment que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers Taxe des x, dans le cas dune ordonnée positive; sa convexité ou sa concavité vers le même axe , dans le cas d'une ordonnée négative. Enfin , si Ton dL f' x=io^ sans quey"\r s'évanouisse, la courbe subit une inflexion [3o], en sorte que le parallélisme de la tangente à l'axe des x n^mpêche pas Tordonnée de croître ou de décroître, de part et d'autre du point de contact.

92. D'après ce qui précède, toutes les fois que la fonction y^r. aura un coefficient différentiel/*'^, exprimé algébriquement, ou obtiendra les valeurs de x qui correspondent à des valeurs maxima ou minima de la fonction, en résolvant par rapport à x l'équation fx=zo. On distinguera ensuite le maximum du mini" Mm, en substituant pour x les racines de cette équation dans la fonction f'^x, puis dans Z*"'^, si f"x s'épanouit aussi , et ainsi de suite.

Mais il faut observer que souvent, par la nature de la question, on sait à priori qu'une fonction ne comporte pas de maximum, ou qu'elle ne comporte pas de minimum : alors on est dispensé d'une discussion de sipies, et il suffît de résoudre l'équation y'j; = o; en supposant toutefois que l'on sache aussi que les racines de cette équation n'annulent pas les dérivées subsé- ^entes.

Appliquons la règle générale à la fonction prise pour exemple dans le n** 5,

fx= ^ :

^ X — lO

on aura

160 LIVRE II. CHAPITRE in.

L'équation à résoudre est

a:* — 2oar+64==o , dont les racines sont ^=i6 et j:=4- O» trouve ensuite

valeur qui devient positive pour^=i6, négative pour

x=A : ainsi la racine i6 correspond à un minimum y

et la racine 4 à un maximum.

Si Ton se donne

ya;=e* + acos j:+e-* ,

on trouvera :

/' X =c*— a sin x —er^ ,

f^ X =Lé'—^cosx + er' ,

jr'"ar=: e*+ 2 sin x — e"^ ,

f^^x =^ + 2 cos ar + «"* = /^ .

La valeur ^=o, qui fait évanouir /' .r, /" a:, /'" .r, donne dip^x la valeur positive 4 : la valeur correspondante de /r, qui est aussi 4? constitue donc une valeur minimum de cette fonction.

93. Maintenant il peut se faire que/'^ change de signe en passant par l'infini, et que néanmoins /r n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre , en sorte que la différentielle

reste infiniment petite [35 et 54]. Dans ces circonstances Y passe par un maximum ou par un minimum y selon que dy passe du positif au négatif ou du négatif au positif; mais il faut s'en assurer directement par la discussion de la fonction /r, attendu que toutes les dérivées /"x, /'"a:, etc., prennent, en même temps que/\r, des valeurs infinies.

' Si, par exemple, on avait

fx=z{x—i)iy

MAXIMA ET MINtMA. }Gt

d'où

la valeur :t:=i rendrait /'a: infinie et /*r nulle. Il est dailleurs évident que/*' j? sera négative ou positive pour des valeurs de ^ < ou > i, tandis que ^x restera constamment positive : ainsi la valeur ^== r correspond à un minimum Aefx. C'est le cas où la courbe dont /.r est rordonuée a un point de rebroussenient répondant à l'ordonnée minimum (Jig» 3i). Au contraire si l'on posait

d'où

ia valeur x= i rendrait encore f'x infinie et fx nulle; mais/'x ne changerait plus de signe en passant par l'infini, tandis que/x passerait du négatif au positif, et conséquemnient n'atteindrait ni maximum, ni mi^ nimujn. En pareilles circonstances , la courbe subit une inflexion, et la tangente au point d'inflexion est perpendiculaire aux abscisses {Jig> 3a).

Dans le cas où la racine de/*' x-=-o rend infinie /".r, ce qui correspond à une solution de continuité du second ordre pour la fonction fx, il faut encore examiner directement si f x passe du positif au négatif^ ou du négatif au positif, ou bien, enfin, si elle s'évanouit sans changer de signe; car dans la première supposition il y vimuximuiriy dans la seconde, minimum^ et dans la troisième on n'a ni muximwn m minimum.

Ces trois suppositions se réalisent respectivement pour les fonctions

fa:=-{x-if\fx^{x-i)\fx={x-i)K

T. I. Il

la seule qui nous intéresse, donne

et correspond au maximum cherché.

95. 2* problème. Trouver le point le moins échauffe sur la droite qui joint deux foyers de chaleur, sachant que l'intensité de la chaleur rayonnante varie en raison inverse du carré de la distance au foyer calorifique.

Supposons que ies pouvoirs échauffants des foyers A, B, à l'unité de distance, soient entre eqx comme les nombres a^ et ^^; désignons par a la distance des foyers A, B, et par x celle de la particule échauffée au foyer A : l'intensité de la chaleur rayonnante reçue par cette particule aura pour mesure

expression qu'il faudra rendre un minimum^ en posant

D'abord les valeurs .r=: ±od satisfont à cette équa tion en faisant évanouir fx; la solution que l'on cher che s'obtient quand on fait

et comme la dérivée /"x a pour valeur

expression . qui lisste constamment positive, il en r suite que la solution correspond bien à un minintLtm Enfin, les valeurs x:=.o et .r =a, qui rendent /"'aj î finie, faisant subir à fx la même solution de oon uuilé, ne correspondent pas à des muxima^ dans sens ordinaire du terme. D'ailleurs, ces valeurs \\

MAXIMA KT MIMMA. 165

finies à^fx sont inadmissibles physiquement, par des raisons analogues à celles qui ont déjà été indiquées [4].

96. V problème. Quand on veut mesurer la hauteur A dune ligne verticale AB {^fig- 34 )» ^^ mesure, à partir du pied de la verticale, une distance horizontale BC=i;on observe l'angle BCA=.r, et l'on a

A= A tang X . (a)

Cela posé, il s'agit de choisir la base arbitraire by de manière à former le triangle le plus avantageux^ c'està-dire, celui qui est tel qu'à une même erreur sur l'angle x correspond Terreur minimum sur la hauteur cherchée h.

Si, au lieu d'observer exactement l'angle x^ ou observe un angle a:-[-Ax qui en diiïere peu, la valeur qu'on en conclura pour la hauteur cherchée pourra s'exprimer par ^-[-AA, et l'on aura sensiblement

dx cos* X

Donc, pour que le rapport de l'erreur A A sur la valeur calculée, à Terreur d'observation A.r, soit un minimum, il faut que la vraie valeur de Tangle x et celle de la Inse b qui en dépend rendent un minimum le facteur

cos*^ ' c'est-à-dire (substitution faite pour b de sa valeur donnée par l'équation (a) en fonction de x et de la constante A), le facteur

tg X cos* X

Le problème revient par conséquent à rendre un maxi^ mm la fonction

yx = tango; cos*Jtr = sînj:cosa:r.

Or, on a

/'or = cos* a: — sin*a?,/"^=: — 4^^°*^^^^^ •-

Done le maximum cherché correspond à

sin X = cos X = — zz ^ h-=.h , V^

C'est la règle pratique que l'on découvre , pour ainsi dire, instinctivement , mais dont le calcul seul peut donner une démonstration rigoureuse.

La solution

sm a; =

résoudrait aussi le problème analytiquement, mais ne présenterait aucun sens , d'après les conditions géométriques de la question.