CHAPITRE IV

FORMULES DE TATLOR ET DE MACLA^UUIN.

S 1*'. Formule de Taylor.

98. La génération des dérivées des divers ordres coii- <luit au développement des fonctions en séries ordonnées par rapport aux puissances entières et ascendantes de la variable. Cette théorie importante, qu'il convient d'envisager sous plusieurs aspects, sera l'objet de ce chapitre.

Représentons, comme au chapitre IV du premier hvre , par

ji y \ ^ ^a ) Tî 1* • • yn%

les valeurs d'une fonction fx qui correspondent aux

valeurs

Xy .a?-f-Ar, ar-f-aAj:, a: -h 3 Ao: , . . . a: + /lAo:

de la variable indépendante : on aura [43]

>^/(^-|-/îA^)=jr+ Y Ar4— ^^ ' AV+ ^ ^ ^\^ — ^ A»r4-. • -t-A"/.

On peut mettre cette équation sous la forme

•^ I Ax 1.2 \ /*/ Ax*

i.a.o....7i\ /i/ \ /!/ \ nj \ n J

ce qui donne , quand on fait n^x=h ,

Ao:" '

168 LlVIUt II. CHAPSTIIE IV.

Concevons maintenant que l'on diminue indéfiniment l'intervalle ^x^ en augmentant indéfiniment le nombre /i, de manière que le produit n\.v reste égal à la quantité constante h : le nombre de termes dont se compose le second membre de Féquation précédente ira en croissant indéfiniment, et les rapports ' A/ar A^^ Ay^

"aF ' Âr' ' Ar' '

convergeront vers les limites

dj*a: d^fx d^f x dx dj^ da?

ou

fx.fx^r^.

De plus, les fractions

H)HX-1)- (-^0

[i étant un nombre positif quelconque <ny qui reste constant tandis que n augmente) convergeront toutes vers Tunité. Donc , quelque grand que soit le nombre /, et quelle que soit la valeur assignée à l'accroissement h^ on pourra prendre n assez grand pour que la somme des /-j-i premiers termes du second membre de l'équation (ez), diffère d'aussi peu qu'on voudra de la somme

f'^V'-^'y-'^-^r^'^ + zi-/"' •