FORMT1LK DE TAYLOR

Noas admettons que toutes les foncûon^ fx^fx ^f"x^ .... .yrO X conservent des valeurs finies j sans quoi le raisonnement qui précède tomberait en défaut.

Ceci ne nous autorise point encore à regarder la fonction/(j:-j-A) comme étant la somme de la série {b) prolongée à l'infini \^t\[» Car^ si Ton considère dans la suite (a) d'où nous sommes partis , et qui est la valeur exacte de /'(a:-[-A^, le terme de rang v-[- i, v étant un nombre compris entre i et rij mais beaucoup plus grand que / et comparable 2l n, ce terme ne se réduira plus sensiblement à

à cause que le facteur

ne se réduira plus sensiblement à l'unité^ et au contraire se réduira sensiblement à zéro^ pour des valeurs de v très- voisines de n.

Mais du moins il sera toujours permis de poser

Rj étant une fonction inconnue de x et de A ; et si nous fixons les conditions pour que la valeur de cette fonction tombe entre des limites susceptibles de se resserrer indéfiniment, pour des valeurs indéfiniment croissantes de Tindice i , nous aurons par cela même déterminé les conditions sous lesquelles la fonction y (a:-[-A) peut être considérée comme la somme de la série (A), prolongée à Tinfini.

99. A cet effet, nous remarquerons d'abord que, si une fonction f^h est nulle pour A=o, et si la dérivée ç'A con-

serve le même signe entre les limites o, À, sans passer par l'infini , la fonction <fh sera de même signe que (p'A ; oar on peut la considérer comme la somme deléraents infiniment petits, tous de même signe que (p7/. On sup* pose que la variable // est indépendante et que la limite h est positive : les résultats seraient inverses s'il s'agissait d'une limite négative.

Cela posé, donnons, ce qui est permis, à la fonction inconnue Bj la forme

if étant une autre fonction inconnue : on déterminera évidemment des limites inférieure et supérieure dé R^, si l'on assigne des nombres P, Q tels que Ton ait, pour toutes les valeurs de h ,

+T:ixr/'^"+,...M/+i)Q!

Soient (fji , ç,A les premiers membres de ces inégalités : les fonctions (p, , <f^ s'évanouissent quand on y fait hzzzo; donc les inégalités seront satisfaites , d'après la remarque précédente , si l'on a pour toutes les valeurs de A,

ou