FORMULE DE TAYLOR

+ -4 — /(i-Ox + — ^.Ql <o.

Mais ff\h , 9 ,A sont aussi des fonctions de h qui s'évanouissent pour h=zo : donc les inégalités (c'), et par suite les inégalités (c) , seront satisfaites si l'on a

ou

-r ^ Ti * 4 '^ ' I

En continuant ce raisonnement , on parviendra, après i'\'i différentiations successives, aux inégalités

Or, ces inégalités finales, et par suite les inégalités primitives {c\ seront satisfaites, si l'on choisit pour P et pour Q respectivement la plus petite et la plus grande valeur que prenne la fonction dérivée

pour les valeurs de z comprises entre x et x-\-h.

Si cette fonction était constamment croissante ou décroissante ydex k ar-j-A , on pourrait poser

P =/(*+0 (a:) , Q =/(»+') (:r 4- A) , ' ou inversement

P ===/(«+') (a; + A) , Q =/<»+0 (a:) . Donc le reste B^- a pour expression

0 désignant un nombre inconnu , compris entre o et i^ de manière que .r-j-ôA tombe entre x et .r-j-A. Nous écrirons d'après cela

Maintenant, s'il arrive que les valeurs numériques des fonctions

ne dépassent jamais une certaine limite X, pour toutes les valeurs de z comprises entre x et x-\'h , et pour toutes les valeurs possibles de l'indice de différentiation /, on aura numériquement

n» < — TC TT- : >

et alors , quel que soit h , on pourra toujours prendre / assez grand pour que R^ tombe au-dessous de toute grandeur donnée. Par conséquent , dans ce cas , la fonction/'(.r-j-A) sera là somme de ia^-suite (^), prolongée à l'infini; ce que nous indiquerons en écrivant :

/(:r4.A)=/^+ ^/'^+iL/'/^+ -A/"'^ + etc. (B)

Cette formule porte le nom du géomètre anglais Tajrlor qui Ta découverte, et l'on en fait un perpétuel