FORMULE DE TAYLOR
usage en analyse. On en a donné une foule de démonstrations : celle qui précède , telle que nous Tavons présentée, nous semble parfaitement rigoureuse; et nous l'avons préférée, aon-seulement pour nous rapprocher (le la marche de Fitlventeur, mais parce qu'elle nous paraît très-propre à bien fixer le sens et Téteudue de cette formule fondamentale.
100. 11 sera bon, néanmoins, d'indiquer un autre tour de démonstration. On peut toujours poser /(x+A)=/:r+A(p( j;, A) , la fonction inconnue (p devant être telle que le terme hif{x^ h) se réduit à zéro pour k=o. On tire de là
r L^ h^ + h)—fx ^{^,h)=^-^ J —'
expression qui se présente soùs la forme— , et se réduit,
comme on sait, ày'a:, quand on y fait /r=o. D'après cela nous pouvons poser,
(p(a:, A)=/'a:-h A<px (^, A}, doii
/(^ + A)=/^+^/':rH-A>ç,(a:,A), .
Cette expression de ç^ se réduit encore à - , pour A=:o.
Appliquons la règle générale [85] eu prenant les dérivées des deux termes de la fraction par rapport à A : il viendra
^t en différentiant de nouveau, pour faire disparaître l'indétermination qui subsiste eucore ,
pour la série des valeurs de z comprises entre o et A,
on aura
ou
^'/(*+0 (X'\'h — z)dz > 5r— ,
car la dérivée de la fonction •: est z*dz r5ql. Il vient
par la même raison
donc la valeur de B^ tombe entre
et
et de plus on a
valeur que l'on pourra calculer exactement , ou par approximatioYi , à l'aide des procédés qui seront exposés plus tard, eu supposant donnée la fonction/, et par suite la dérivée /(•"*"') .
102. Écrivons z au lieu de a: dans la formule (A) , et ensuite remplaçons k par x — z : cette formule deviendra
en posant par abréviation
Pour ^=o , la formule donne
fj,=fz + {x-z)f[z+fi,{a:—z), 0, désignant un nombre compris comme ô entre p et i , mais en général différent de 0 ; et de là on tire, en remplaçant/'par <p,
FORMULE J>B TATLOR. 177
Mais d'après Féquation (ç) on a évidemment y,T — -o ; et si Ton différentie cette même équation (^ ) par rapport kz^ea supprimant à mesure les termes qui se détruisent, il restera
