jr

d'où

En conséquence , on tire de l'équation (f ')

et Ton peut , dans la formule (A.) , remplacer Texpression du reste R^

par cette expression équivalente, due à M. Cauchy,

103. De quelque manière que rou arrive au développement de Taylor , ce développement n'a de sens qu'autant que Ton conçoit la suite des termes obtenus complétée par un reste, qui peut , dans certains cas , décroître au-dessous de toutes limites^ ce qui permet déconsidérer la série prolongée à l'infini comme équivalente à la fonction proposée. Dans cette hypothèse, il faut bien que la série soit convergente ; mais la réciproque n'est point vraie, et la série prolongée à l'infini pourrait être convergente sans que le reste Bi,- qu'il &ut toujours calculer directement, allât en décroissant mdéfiBÎmeiit* Dans ce cas la série de Taylor serait en dé-

178 LIVRB H. — CViriXaS IV.

fiiut , la somme de la série convergente ne eotncidant pas avec la fonction donnée.

Pour se convaincre de la vérité de cette proposition , il suffît de considérer que , dans tous les raisonnements qui précèdent, la fonction^ est supposée quelconque : elle peut être mathématique ou empirique; il suffit , pour l'application des formules , que cette fonction et ses dérivées de tous les ordres n'éprouvent aucune solution de continuité correspondante aux diverses valeurs de la variable ^ de a: à x+A inclusivement. Cela posé, le tracé de la courbe 7=/i étant arbitraire entre les valeurs z=zx. et z=^+h , et ne dépendant point de la forme de la courbe dans le voisinage du point initial, il serait absurde que lesquâintitésy

qui toutes se rapportent au point initial^ déterminassent implicitement le tracé de la courbe dans tout l'intervalle que l'oti considère. Piu-.conséqùent,jr(^'^-A) ne peut pas en général être déterminée par la série des quantités^ ^

/.r, , même prolongée à Tinfim. Mais du moment

que l'on a égard au re$te Rt, pour Tév^luatjon duqqel il faut tenir compte de toutes les valeurs de la fonction ^ dans l'intervalle de or à X'\'hj la 4iffîçulté disparaît, et rien ne saurait infirmer la l^itimité du développement* À la vérité ^ on pourrait supposer que, si deux fpactiops fz ^fijz p pon identiques daiis l'ioleiTaJle de zs^=x à jt==X'^^ , étaient telles néan^ioins que l'on eût

ju9qpà ri^fini» l'une au mo«îiis de ees fooctâons devrait subir, pour ^==::r, une soUitî<>o de oonûttuité d'un ordi^.qudiCOAque, ce «pi suffirait pour qu'on ne pûfi pfis prolonger à ritifi«li la série de Taylor , et ce qui rM-

FOaMULS DJI TATLOR. * 179

trenit 4iuas MUfs esc^ioo d^jà signalée. EfTectivftmeiit nous avons a4n^is déjà [37] ^ ppu^ dépiontreroQs plii$ loin que^ si les fonctionsy^^^z sont déterminées^ explicitement ou implicitemeat, par des équations algébriques , la série des équations (/*} entraînera l'identité des deux fonctions ; en sorte que , si les deux fonctions avaient dans une partie de leur cours la même expression algébrique, et dans une autre portion de leur cours des expressions algébriques non identiques, elles éprouveraient nécessairement, au passage d'une expression à l'autre, une solution de continuité d'un ordre quelconque. Mais rien n'autorise à généraliser cette remarque en rétendant aux fonctions empiriques^ ni même aux fonctions transcendantes, comme M. Cauchy l'a montré sur un exemple bien simple.

Prenons eh effet

fz restant quelconque. Nous avons vu [89] que^ pour

z=o j les dérivées de tous les ordres 4e la transcen-

dante e s'évanouissent avec la transcendante dont elles dérivent : par conséquent, pour j:=o, on aura

jusqu'à l'infini, bien que les fonctions/ et y*j restent (Ustinctes pour toute autre valeur de j$.

D'après eela, le dévdoppenmit de y] A par la ^kmi dç Taylor, prolongée à l'infini, ne diffîrera point du développement de fh ; et si la série de Taylor ainsi pro^ longée est cîoaivergente >et a pour somme y*^^ le même développement, quelque convergent, sera fautif quand on rappliqndra à la fonction /.

180 LIVRE If. CHAPITRE lY.

Désignons en général par fz une fonction de z telle que , pour une valeur particulière z^=zXy on ait

O t±:çj?t=ç ^7=^"^:=

jusqu^à l'infini; et soient R(*),R/*) les restes de la série de Tàylôr pour les fonctions

f(^ + à),J,{x+h)z=zf(a; + h)+^{a: + h), il faudra évidemment qu'on ait, quel que soit Tindice i ,

ce qu'il serait d'ailleurs facile de retrouver àposieriori^ au moyen de l'expression du reste eu intégrale définie.

104. Le nombre de termes dont se coQipose la série de Taylor n'est limité que dans un cas, savoir : quand fx est une fonction algébrique entière; car alors, m dé-signant le plus haut exposant de x dans cette fonction , la dérivée du m^ ordre est une quantité constante, et les dérivées des ordres supérieurs s'évanouissent [6o].

Si l'on pose /i:=^, la série de Taylor donne, pour un exposant quelconque m, le développement de {x+hy^y et coïncide avec la formule de Newton, qui se trouve ainsi démontrée pour un exposant quelconque , comme nous l'avions annoncé [66 et 8a]. On a en même temps

Ri = — ^ ^-5 \ <• I -3»(:f+ A— js) •»-•-' dz .

i.tk.ô..,.a Jo

105. La série de Taylor, par sa généralité, avait déjà fixé depuis longtemps l'attention des analystes, lorsque Lagirange imagina de la prendre pour base de la théorie des fonctions, et par ce moyen d'éluder, k ce qu'il croyait, dans le passage de la discontinuité à la continuité, Tem* ploi de toute notion auxiliaire de limite , de fluxion ou d'infiniment petit. A cet effet , Lagrange admet qu'aune

FORMULE DE TATLOK. 181

fonction quelconque, ou du moins qu'une fonction mathématique quelconque y(a:-(-A) peut se développer en une série telle que

fx + cp^jT • A> 4- f , x • AP + f , 07 . Ay + etc.

11 montre y en s'appuyant sur la nature algébrique de la fonction , que ces puissances ne peuvent être ni négatives , ni fractionnaires , tant que x et h restent indéterminés. Car d'abord, si la série contenait des puissances négatives de A, en y faisant A=o, les termes affectés des puissances négatives deviendraient infinis, et, par conséquent ,^0: aurait une valeur infinie , ce qui ne peut arriver que pour des valeurs particulières de x. En second lieu , si la série contenait un terme affecté (le la puissance fractionnaire |, d'après les propriétés des radicaux, ce terme aurait autant de valeurs distinctes qu'il y a d'unités dans le dénominateur q; en sorte que, pour un même système de valeurs de x et àefx^fi^x-^h) aurait plusieurs valeurs distinctes; ce qui ne peut arriver que pour certaines valeurs particulières de x et de /r, par la même raison qu'il est impossible que tous les points d'une courbe soient des points de rencontre de plusieurs branches de la coqrbe.

On peut donc ^d(nettrç que le développement de /(.r-j-A) est donné d'une manière générale par la formule

/(^+À)=/r + A;^,:F-+.A«(p,x-HA'<p,Jî + etc. ; (A)

et, ceci posé, Lagrange appelle la fonction (f^x la dé» nvéeàà fx^ en la désignant pai; la notation /'.r, pour mieux rappeler la liaison qui existe entre /à: et f |.r. Le mode de dérivation ainsi défini, il ne lui est pas difficile de trouver la loi suivant laquelle les fonctions (p..r ,

f3^,. .... dérivent Aef'x^ et d'écrire dans sa notation la formuie de Tajlor

f{z + A) =/x+ ^^ + ^/'* + ^' "x+etc.

Il suffit maintenant de substituer successivement 2ijjc les fonctions élémentaires af^, log x^ sin Xy et de trouver, par les méthodes algébriques connues, les premiers termes des développements des fonctions {x-^hy^ ^ log {x-\-h)j sin {x-^h)^ suivant les puissances de A, pour en conclure les premières dérivées de ces fonctions élémentaires, et par suite leurs dérivées des ordres supérieurs ^ comme aussi les dérivées des fonctions quelconques, composées de ces fonctions élémentaires.

C'est ainsi , selon Lagrange , que la théorie des fonctions se trouve ramenée à une simple application des règles du calcul algébrique ordinaire. On peut consulter, pour le développement de cette idée fondamentale, les deux traités spéciaux que ce grand géomètre y a consacrés, la Théorie des fonctions analytiques et les Leçons sur le calcul des fonctions.

Mais si ces deui: ouvrages, à cause du nom imposant de leur auteur, ont été d'abord accueillis, par toute une génération déjeunes géomètres, comme fixant les bases de l'enseignement, un examen attentif a dû montrer qu'il s'y trouve un de ces paralogismes métaphysiques dans lesquels les plus grands maîtres peuvent tomber , lorsque la nature de leur sujet les force à( sortir de Ta* nalyse et de la synthèse scientifiques , pour entrer dans la critique des idées qui sont les matériaux mêmes de la science.

En effet, le développement en série n'a de sens que lorsqu'il mène à une série convergente, ou mieux en*

W0KTàlil.K l>fi TATLOR. 183

core lorsqu'il est démontm que le reste de la série tend sans cesse vers la fioaite 2éro quand le nombre des termes croît indéfinimeat. Toute induction tirée d'un dévelop* pement en série non convergente manque de solidité, et peut conduire, comme des exemples le font voir, à des résultats fautifs, La méthode de Lagrange n'a donc point l'avatttage d'élimider la notion des limites ou toute autre équivalente. La nature des choses et las lois de l'entendement exigent ici l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires, dont le simple développement par lalgèbre du principe d'identité ne peut tenir la place.

D'ailleurs, les raisonnements indiqués ci-dessus, et qui servent à justifier la forme attribuée à la série (A), outre ({u'ils reposent sur un principe Subtil et sujet à controverse, suivant que l'on regarderait l'ambiguïté des signes des radicaux comme le résultat d'une convention ou comme un fait nécessaire, ne peuvent en tous cas s'appliquer qu'aux fonctions algébriques : tandis que ta théorie des fonctions, comme nous nous sommes attaché à le faire voir , doit essentiellement comprendre les fonctions continues quelconques ^ et former un corps de doctrine qui subsiste indépendamment des applications à lalgèbre. Le développement en série n'est qu'un artifice de calcul , et ne peut convenablement servir à établir des lois et des rapports dont l'existence est indépendante de nos procédés artificiels.

106. On dit que la formule de Taylor tombe en de-jiuUf lorsque la valeur particulière de or que l'on considère, rend infinie la fonction^ ou ses dérivées à partir d'un ordre quelconque. Alors, en effet, si la fonction fcst algébrique, la fonction /(^-|-A) est susceptible de

184 LiVRS II. CHAPITRli IV.

se développer en une série qui contient des puissances^ négatives ou fractionnaires de A , mais qui n'a de sens qu'autant que l'on peut faire converge indéfiniment vers zéro le reste de la série. Soit, par exemple ,

m désignant un nombre positif, et (fx une fonction qui prend, ainsi que toutes ses dérivées, une valeur finie quand on y fait x=:i. La fonction /"(i-j-A) pourra se développer en série contenant des puissances négatives de A, car on aura '

y^.^^)=îi£+*)=^-^.H-t=r;•(.)+.erî,'(.)+ e.o.

Si la fonction algébrique f ne devient pas infinie , mais que ses dérivées le deviennent à partir d'un ordre quelconque, il est clair que son développement ne peut contenir uniquement des puissance^ entières et positives de h :. car alors ses dérivées pourraient se développer aussi suivant les puissances entières, et positives de A, et, par conséquent, ne deviendraient pas infinies pour A=:o; tandis que, si le développement de la fonction proposée contient des puissances fractionnaires et posi-

tives de A, telles que hq^ et si m désigne le plus grand nombre entier contenu dans •^, la difFérentiatron amènera, dans le développement des fonctions dérivées de l'ordre m-|-i et des ordres supérieurs , des puissances négatives de h.

Ce cas se présente toutes les fois que fx contient eix

numérateur un radical de la forme {x — a) q , et qu'oa

y donne à x la valeur particulière a. Soit, par exemple ,

FORAEULE 0£ TATLOR. 185

f et<|; désignant des fonctions algébriques entières, qui oe s'évanouissent pas pour jr=j : toutes les dérivées de fx,i partir de la première, deviendront infinies pour la même valeur de ^^ et la formule de Taylor tombera en défaut. Mais si Ton substitue directement i-^A h Xj il viendra /(H-A)=:ç(i + A)+^(H.A). l/Â.l/â+Â,;

et ainsi, en développant par la série de Taylor, suivant les puissances entières de A, les fonction»

ç(l+A), +(! + *), ï/Tî^,

on obtiendra /"(i-|-A) , exprimée par une série qui reqferme des puissances fractionnaires de h.

Quand la première dérivée de fx qui devient infinie pour la valeur particulière x=a, est la dérivée de l'ordre i-[-a , on peut employer la série de Taylor en l'arrêtant au terme affecté de /^* , et en évaluant le reste ^ par la formule (e) qui subsiste toujours , puisque f^^^^ n'éprouve point encore de solution de continuité Ju premier ordre; ou en s -assurant, par la considératioQ des limites de ce reste, qu'il est d'un ordre de grandeur tel qu'on puisse le négliger.

107.Lagrange emploie un raisonnement semblable à celui qui a été indiqué ci-dessus [io5] pour montrer à priori que la fonction /(x-^-h) doit renfermer dans son développement des puissances fractionnaires de h , quand Jes valeurs particulières de x font évanouir les radi-

eaux qui entrent dans/r. En effet , le radical {x-^ay "Oûçe à la fonction autant de valeurs distinctes, réelles ou imaginaires , qu'il y a d'unités dans le nombre en-

186 LIVRS II. CHAPlTAS JV.

lier q. Comme ce même radical se reproduit dans les coefficients dîfFérentiels de/ir, tant que x reste indéterminé, ces coefficients prennent eux-mêmes, comme cela doit être, un nombre q de valeurs différentes. Ainsi il y a, à proprement parler, autant de fonctions y(:r-j-A) et de développements distincts, que le radical dont il s'agit comporte de valeurs. Mais si Ton donne à X la valeur particulière a , le radical disparaît de tous les coefficients de la série de Taylor fayfa^fa^ etc.;

tandis qu'il subsiste dans la fonction/(a-(-A), oii il est

p devenu fi^. Donc la série, dans sa forme ordinaire^ ne

peut plus alors représenter la foiictioù , puisque celle-ci

a plusieurs valeurs, tandis que la série n'en aurait qu'une :

donc il faut que le développement dey*(a-|-A) contienne

des termes affectés du radical A*.

Remarquons d'ailleurs qu'un radical contenu dans^/r peut disparaître de deux manières distinctes pour des valeurs particulières de^: i^ parce que la quantité sous le signe radical devient nulle ; 2^ parce qu'un facteur affectant le radical s'évanouit. Ce dernier cas ne doit point, d'après les mêmes principes, faire exception à la formule de Taylor. Soit en effet

un terme qui introduit dans fx le radical {x — a)* : ce terme disparaissant pour la valeur ^•=a, , laquelle fait évanouir le facteur (.r — a,)"*. Comme l'exposairt du binôme x — a,, supposé entier et positif, diminue d'une unité à chaque différentiation , il y aura, dans les dérivée3 de fx de Tordre ni et des ordres supé-

FORMULE DS TAYLOB. 187

liem, des termes où ce binône cessera d'affecter

comme facteur le radical {x-^af : d'où il suit que le développement par la série de Taylor de la fonc- \mf{ar\^h)j prolongé au moins jusqu'au terme de rang m — i înclusiTement , coQserve autant de va-

leors distinctes que le radical {x — a) * en attribue à

Il oe Ëiut pas conclure de ce qui précède , avec quelques auteurs , qu'ien pareil cas la sérié de Taylor doit aa ffloias être prolongée jusqu'au terme inclusivement

OU reparaît le radical {x — a) ^ : car ce radical subsiste toujours, avec la multiplicité de ses valeurs, dans l'intégrale définie qui exprime la valeur du reste Ri, quelle que soit la valeur de l'indice / ; et il faut toujours tenir compte du reste de la série pour donner de la rigueur aux raisonnements.

On voit^ par exemple, que, si le facteur qui affecte 1^ radical était une fonction transcendante de la nature de celles indiquées ci-dessus [ioa],qui deviennent nulles, ainsi que toutes leurs dérivées, pour certaines valeurs de x^ le raisonnement de Lagrange ne serait plus applicable; et l'identité entre le développement et la fonction développée ne pourrait subsister qu'autant qu'on arrêterait la série à un terme quelconque , en tenant compte dû reste.

108. Lorsque la fonction yi ou ses dérivées, à partir d'un ordre quelconque^ éprouvent une solution de continuité du premier ordre, non plus pour la valeur initiale z=:x, mais pour une valeur z=^ comprise entre 2=.r et z=zX'^h , la formule de Taylor , dès l'instant

188 LIVRE II. CHAPITRE lY.

qu'on y fiiit A=ou > a — x , doit être inapplicable , aussi bien que si la solution de continuité se rapportait à la valeur initiale : cependant la métaphysique de Lagrange ne s'applique pas à ce cas, et l'on n'est pas dans l'usage de le considérer comme un cas de défaut de la formule de Taylor. Mais du moment que Ton tient compte du reste R| , comme cela doit toujours se faire , le défaut se manifeste par l'impossibilité d'assigner des limites au reste, ou de l'évaluer çn intégrale définie, quand la fonction sous le signe/ passe par l'infini,. que ce soit à la limite ou dans le cours de l'intégration.

S a. Formule de Maclaurin et ses applications.