Si l'on fait dans la formule (B) x=Oj ce qui donne

/x=/(o) + ^./'(o)+il./"(o)+^./"'(o)+etc.,

et qu'on écrive ensuite X' au lieu de A , il viendra .

/^=yio)+f./(o)4-:^./"(oH-^-^./"(o)+etc.; (C)

en sorte qu'on aura résolu de la'manière la plus générale le problème qui consiste à transformer une fonction quelconque en série ordonnée suivant les puissances en<^ tières et ascendantes de la variable. On pourrait trouver très-simplement la loi de cette série par la méthode connue des coefficients iudéterminés , sans passer par la formule de Taylor. Admettons, en effet , que la fonction fx soit susceptible de se développçr ep série convergente procédant suivant les puissances entières et ascendantes de x , et posons

/ir= A -H Ba: + (ir' + Dx^ + etc. :

FORMULE DE MACLAURIIf BT SIS APPLICATIONS. 189

onaura, en différentiaiit ,

f'x =:i= B + aCLr + 3Dx' -4- etc. , f''xi=z, aG + a*3Dar4^etc., /"jr = 3.3.0+ etc., etc.

Faisons dans toutes ces équations xs=so : il viendra

A=/(o),B=/'(o),C=i/*(o),D±=^"(o), etc.

C'est par ce procédé ( dont on ferait pareillement usage pour établir la loi de la série de Taylor) que Maclaniin ist obtenu là formule (C) , qui porte encore son Donl, quoiqu'on ait revendiqué dans ces dernières années la priorité de la découverte en faveur du géomètre Slirling. D'ailleurs , on ne doit pas regarder cette formule comme essentiellement distincte de celle de l'aylor : seolement la formule de Taylor à plus de généralité , en ce qu'elle subsiste tant que or et A conservent leur indétermination y et ne tombe en défaut, d'une manière ou d'une autre , que pour des valeurs particulières attribuées à ces lettres ; tandis que la formule de Maclaurin ti'est applicable qu'autant que là fonction fx n'éprouve pas de solutions de bontikiuité, pour X—Xi.

La série de Maclaurin doit, comme celle de Tajlor, et par la même raison, être Complétée par un reste. Soit /".le reste de la série de Maclaurin, arrêtée au terme de rang «^i , en sorte qu'on ait

/x=yro) +î/(o) + + 7;^/''> (o)+r, ,

l'expression de r, en intégrale définie sera évidemment, <]'après ce qui précède , donnée par l'équation

190 hVf%E H. CHAPITRB IT*

la valeur de r, tombera entr^

. >^ et ? 9

Pj g désignant la plus petite et la plus grande valeur de

y(«-H) (x — z)j entre les limites z=o , 2=ar , ou celles de

f(''^*)z entre les mêmes limites.

Si Ton désigne par 0 , Oi des nombres compris entre

o et I y on aura encore pour r, ces deux expressions

i.2*3...(i+i) ^ \ J7 * i.a.3...i "^ ^ ^ Ces explications pouvant suffire^ nous allons passer à l'application remarquable que l'on fait de la formule de Maclaurin au développement des fonctions logarithmique , exponentielle et circulaires.

1 10. Si nous voulions développer la fonction log jc suivant les puissances positives et ascendantes de .r ^ nous trouverions que cette fonction et ses dérivées de9 divers ordres deviennent infinies pour x=:o^ en sorte que la série de Maclaurin tombe en dé&ut. Mais en prenant

/a: = lp^(i + ar), et en supposant toujours, pour plus de simplicité, qu'il s'agit d'un logarithme népérien , nous trouverons

suivant que 2 est pair ou impair; d'où

log(i4-a:)=^ ~+-^ —- ^ + T ~ ^*^' ' ^'^ série convergente, tant que x est compris entre — i et -|-i. A la limite supérieure jr^=i , la série est encore convergente ; car on a

FORKULE DR MàCLAVMJS BT SBS APPUCATIOKS. 191

it Ton sait ^e toute iiérte dont les termes , altematÎTe-

ment positifs et négatifs, vont en diminuant, est néees^ sairemeQt convergente [a6].

Si Ton fait x=: — i , H vient

Dosait que zéro a pour logarithme Tinfini négatif : donc

la série

estdivergente,cequi se démontre d'ailleurs directement.

Ona

SU OD fait ensuite

= iH-- , aou a?=:-

I viendra:

Cette dernière série est toujours très-rapidement couver-^ j jentepoardes valeurs entières des nombres /^ et v , et elle I iiit connaître le logarithme du nombre /z^-|-v quand celoi de n est connu. On ne calculera , bien entendu , par le moyen de cette série que les logarithmes des nombres premiers : les autres s'obtiendront par de simples éditions; et pour cela on aura soin de calculer les loga- ^lunes des nombres premiers avec un plus grand nombre de décimales qu'on n'en veut tonserver dans Stable.

Supposons 7?=i , v=f : comme le logarithme de Tunité est zero^ on aura

log. = aQ+^^+^,+ etc.) ,

série bien plus rapidement convergente que la série (y ) » et dont il sufEt de calculer un petit nombre de termes pouf trouver

log a = O969314718

Par conséquent

log 4 = 1)386^9436

En faisant dans la série (/) /2=4y v=i 9 î" vient

log5=log4+. (^4-3^+5^. + ^ -4. elc.) ,

log 5 =1,60943791 . .....

Le troisième terme de la série n'influé déjà plus que sur le chiffre de Tordre des millionièmes , et le cinquième serait tout à fait insensible dans, le calcul des tables ordinaires.

La somme des logarithmes de a et de 5 donne le logarithme népérien de fo, égal à a^SoaSSSog

En divisant par ce nombre l'unité qui est le logavîthme vulgaire de 10, on a [64] le logarithme vulgaire de ^, ou le module des logarithmes de Briggs, égal à o,434a9448i9

Avçe ce module on- forme les logarithmes vulgaires de tous les nombres premiers dont on a préalablement calculé les logarithmes népériens.

L'analyse fournit des méthodes encore plus expéditâyes pour calculer les logarithmes; mais toutes ces méthodes, y compris celle dont nous venons de donner une idée, n'ont été imaginées que lorsqu'on possédait

FORMUr^E ]>E MACLàURÎN ET SES APPLICATIONS. 193

depuis longtemps des tables calculées par des procédés bien plus laborieux.

111. Toutes les dérivées de la fonction ^ étant identiques avec la fonction primitive, se réduisent comme elle à Tunité pour ;r=o. En conséquence la formule de Maclaurin donne

I 1.2 I.Sâ.O 1.2.3.4 .I.a.3.4.5 ^ ^

série qui finit toujours par converger, quelle que soit la valeur donnée à .r. En effet [26], si l'on désigne par Xi le terme de cette série qui en a / avant lui, il viendra

rapport qui converge indéfiniment vers la limite zéro, quel que soit x , quand i prend des valeurs de plus en plus grandes.

'En faisant x=ij nous retrouverons l'expression du nombre e en série, telle qu'on Ta déduite de la formule du binôme [61].

D'après les formules (r/) du n^ 67 on trouve aussi

a: J^ x^ jc' ■

sin^ = — Ta"* ^ o / X 1 i t' £i h etc., (m,)

cos^= ' —7^+7:^3:4- 1:^X4X6 -^ *'*^- ('"*)

Ces séries très-remarquables, données par Newton, jouissent, comme la série (m), de la propriété d'être toujours finalement convergentes , quel que soit x, en sorte qu^elles s'étendent aux arcs qui surpassent la circonférence ou un nombre quelconque de circonférences. On pourrait s'en servir pour calculer des tables de sinus et de cosinus naturels^ dont on calculerait ensuite les logarithmes au moyen de la série (e); mais c'est par des méthodes plus élémentaires qu'ont été effectivement

coDstniites les tables trigonomëtriques pour les besoînfs de l'astrononiie , bien avant le siècle de Newton;

Les séries (m ), (/y2,), (/wj étant convergentes pour toutes lé& valeurs de x^ rien n'empêcherait de partir de ces séries et de poser à priori

/r= I h 5-7 -h etc ;

puis, de déterminer les propriétés des fonctions <|/,f, />

d après les propriétés des séries Convergentes dont elles

sont les sommes. On trouverait ainsi

+ (o) = i,f(o)=o,/(o) = ij j

^Yxzzz^x^ ixz=zfx ^f^X'=i — ix \ \ ^ ^

et de ce système d'équation on pourrait , comme on Ta

indiqué au chapitre II du présent livre, déduire toutes

les propriétés des fonctions ^^^f,/- Les équations {n)

donneraient même directement ces propriétés, sansqu^on

eût besoin de passer par l'intermédiaire des équations

(o). Ainsi l'on trouverait, par la forme même des séries^

^ {x\/~)=fx-\-fx. v/HT,

^{ — x\/"~)=zfx — fx . v/^ ,

{fxy-^(fxy=z2i,

i{x'\-jr)z=ztx .fy-^ïj .fxy etc.

Mais, quoique cette marche soit logiquement rigoureuse^ elle ne nous semble pas convenable dans une exposition didactique où l'on doit surtout rechercher Tenchaînement rationnel des théories. En général, les fonctions sont caractérisées, dans l'ensemble de leur cours, parla loi de leurs accroissements différentiels ; et ce n'est que sous de certaines conditions qu'elles peuvent être expri-

FORMULE DE MACLAURIIf ET SES APPLICATIONS. 195

mées (aussi dans toute l'étendue de leur cours), par des séries convergentes pour toutes ïes valeurs de la variable (').

112. Dans les applications qui font l'objet des deux numéros précédents , nous n'avons fait que constater la convergence de la série de Maclaurin. A la rigueur, on est tenu de prouver directement que ces développements convergents ont pour sommes les fonctions développées, ou que le reste r, tombe au-dessous de toute grandeur donnée, pour des valeurs convenables de i. Or, le reste /'/,dans les développements (/), (/w), (/w«), (/w»), est exprimé par

I • 2 « 3 . . • (/*4-ï) ' I cos^ Les deux dernières expressions donnent pour la valeur

nomérique du rapport -^^, une fraction qui peut tom-

ber au-dessous de toute grandeur donnée, quel que soit X, pourvu qu'on prenne pour 2 un nombre suffisamment ^nd. La même condition est satisfaite^ à 1 égard de la première expression de r,, dès qu'on prend pour x un nombre positif.