On tire de la formule (/) du n

2V/i ** \i—V/—i. tango:/

('} M. Cauchy a donné dans ces derniers temps une règle tiès-remarqaable , pour fixer les conditions de la convergence du développement d*one fonction suivant les puissances entières et positives de ia variable indépendante. Désignons par t^-L.\/ZIl .sinOo), pi(cosôx + t^^.»in^i), p.fcosOa-h l^^. sin6,), etc,

et en développnnt le logarithme par la formule (Je), a: = tang j; — I tang^j; 44 tang*j; — ^ tangj'x -4- etc. • (p) Cette dernière série a ëtë donnée parLeibnitz. La convergence ne subsiste et par conséquent la série n'est applicable que par les valeurs de tang x comprises entre

— i et -|-i, ou pour les valeurs de x comprises entre

— ^ TC et -|- { TC, quoique la fonction tang x reste continue entre les limites x= — ^w et J?= l^ir.

A la limite 0:=^^, la série (p) est encore convergente, et il vient

it I t I

mais la convergence est trop lente pour que cette série puisse servir à calculer commodément la valeur du nombre transcendant ir. Si l'on prend pour x l'arc de 3o**

des valeurs réelles ou imaginaires^ qui, mises à la place de x, rendent infinie la fonction fx ou sa première dérivée y*' ^, on bien qui satisfont à Tune des équations

ces valeurs seront rëelles et positives ou négatives, si les nombres positifs ou négatifs O09 6j, 0^, etc., deviennent des multiples pairs ou impairs de ir; quant aux nombres poy p^ pa» etc., auxquels M. Cauchy est dans l'usage de donner le nom de modules, on peut les re~ garder comme essentiellement positifs. Cela posé, le développement Atfx en série procédant suivant les puissances entières et positives de X, sera convergent pour toute valeur de or, réelle ou imaginaire ^

p ( cos 6 -I- V/' I^ . sin 6 ) ,

dont le module p tombera au-dessous du plus petit des modules p^, Pi> P>) ®^^* ^^ conclut immédiatement de cette proposition, que toute fonction périodique, telle que sin x, cos x, qui ne devient infinie, non plus que sa première dérivée, pour aucune valeur réelle ou imai ginaire de x, se développe suivant les puissances entières et positîvei de X en série convergente , quel que soit x.

FORMULE D£ MACLàURm ET SES APPLICATIONS. 197

dont la tangente est -y=.^ la formule donnera I w I / I I I \

C'est par cette dernière série que Lagny a calculé le Qombre 17 avec 127 décimales. On connaît d'ailleurs d'autres développements propres à donner beaucoup plus rapidement encore la valeur de tc. On tire de la formule (/):

^*=log(^^) = log(i+x) — log(n-i)

A la vérité , cette nouvelle série , est divergente pour toutes les valeurs réelles de x ; mais, si nous donnons à

x\à valeur imaginaire e*^"*' , on aura

»5ï=:zt/-x jc»—- .:=:^ — e =21/ ^i . sin rnz :

or*

et par suite la formule précédente deviendra , après qu'on aura divisé par al/ZT,

-2=8inj8 sin a;8+xsin3z — -sin42-h etc.,

Cette nouvelle série est évidemment convergente, quel

)ue soit z; mais elle n'a pour somme \z que quand la

valeur de z est comprise entre les limites — \t:^ H" I"»^-

Le lieu géométrique de l'équation

/=sinx sin aa:+ ^sin3ar — - sin4a: + etc. . (y)

serait un système de portions de droites parallèles

mX, MN, M'N', M'TV", (y^. 35)

ayant respectivement pour équations en termes finis [37] :

Les points N,M', ont pour abscisse commune 0P== tu; mais Tëquation (<jr), quand on y fait x=: tt , ne donne pour la valeur de y y ni l'ordonnée PN, ni l'ordonnée PM', égale et de signe contraire. On tire de cette équation ^=0, c'est-à-dire une valeur de y égale à la demisomme des ordonnées PN, PM'. La même chose arrive quand on prend pour x un multiple positif ou négatif de TT [38]. Nous reviendrons dans la suite sur cette particularité essentielle du développement des fonctions discontinues; et nous retrouverons l'équation (^) comme un cas particulier de formules beaucoup plus générales. 114. Le développement d'une fonction en série procédant suivant les puissances de la variable, conduit au développement des fonctions en séries d'exponentielles : car, soity^ la fonction proposée : si l'on fait

X = log ^ , ou z = e* , elle deviendra /"(log z)=Fz, et pourra, en général , se développer suivant les puissances de z. Soit kz"" un terme du développement; quand on y mettra pour z sa valeur, ce terme prendra la forme A e*"'; et ainsi la fonction/se trouvera développée en série d'exponentielles.