Passons au cas où le nombre d'équations entre

les variables laisse plusieurs de celles-ci indépendantes;

et pour prendre l'hypothèse la plus simple, admettons

que Ton ait entre trois variables .r,^, z, l'équation

unique

/(ar,7, z)=o : (c)

on en déduit toujours

équation qui lie entre elles les différentielles totales des variables x,^, z. Mais en général ce qu'on se propose de calculer , ce sont les dérivées partielles de la variable que Ton considère comme fonction , prises par rapport à chacune des variables indépendantes [i i8]. On les tirera de l'équation précédente, après qu'on aura fixé celles des variables qui doivent être traitées comme indépendantes. Admettons que ces variables soient .r et^, et

posons [ia4]

dz = pdx -h qdy -

féquation (<?') deviendra

et comme elle doit subsister , quel que soit le rapport arbitraire des variations dx , ûfr, elle se décompose dans les deux suivantes

d'où Ton tirera les valeurs de/?, q^ exprimées généra-

lement en fonction de jf,^, z. On pourra ensuite chasser z au moyen de l'équation (c).

Si l'on dijfférentie Téquation (c'), en traitant ^ et/* comme des variables indépendantes, et par conséquent dvj dj comme des facteurs constants , il viendra

On a, pour la différentielle totale d^z , l'expression convenue [124]

d^z = rdx^ + isdxdy + tdy^ :

substituons cette expression et celle de la différentielle totale dz dans l'équation {c"^j nous aurons

fdf d'f ttf d'f d'/\ . ^

Comme cette équation doit être satisfaite indépendamment des facteurs arbitraires dx ^dy^ elle se décompose en trois autres qui deviennent , après la substitution des valeurs de ^ , q^ tirées des équations {d) y

\dzj dxdzdx dz dz"" \dxj dx" \dz) '

\dzj dz Xjfydz' dx dxdz dy)

dxdy \dzj dz"" dx dy

\dz) dydz dr dz^ dz^ \dy) + dy' \dz) " ° '

On arrivera plus directement au même résultat , si Ton

DlFFÉRENTIATIOir DES FONCTIONS IMPLICITES. 235

considère que les équations {d) ayant lieu , quels que soient j; et^, on peut égaler à zéro les dérivées des premiers^ membres^ prises successivement par rapport à x et par rapport kjr; en ne perdant pas de vue, d'une part , que les dérivées partielles

£ df df

contiennent en général les trois variables jc^j-^z; d'autre part, que z^p^q sont des fonctions implicites de^,^, telles que l'on a

dz& dz dp dp dq dq

dx~^' Ty—^' li—'^' Ty—'di—^''jfy—^'

Ou obtiendra ainsi quatre équations dont deux seront identiques : en effet, les équations {d) peuvent s'écrire

'W If

les traits supérieurs indiquant que l'on a difFérentié la fonction/ par rapport à x ou à^, en ayant égard , nonseulement aux variables x^j qui entrent explicitement dans la composition de/, mais à la. variable z qui dépend implicitement de x et Ae y en vertu de l'équation (c). Cela posé, la dérivée de la première équation {d) par rapport à ^, et celle de la seconde équation {d) par rapport à x^ doivent être identiques, l'une et l'autre pouvant s'indiquer, suivant la même notation, par

dxdy On déterminerait de même les dérivées partielles des ordres supérieurs pour des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes, liées par un nombre quelconque d'équations , sans d'autre embarras que celui qui naîtrait de lu prolixité des calculs.

236 LIVRE m. — CHAPITRE

'^ 134. Nous. avons plusieurs fois invoqué le principe, qu'une fonction algébrique, explicite ou implicite, qui s'évanouit ainsi que toutes ses dérivées successives pour une valeur particulière de la variable indépendante , est identiquement nulle. Ce principe, qu'on a coutume d'admettre tacitement, pour toute espèce de fonctions, exige d'être démontré, d'autant plus qu'il cesse d'être vrai généralement, pour des fonctions non algébriques. Or, on le démontre très-aisément, dès qu'on a établi la règle de différeutiation des fonctions implicites.

Soit en effet j^ une fonction de x^ déterminée par Téquation algébrique

/(a:^)=Y^»+Y„.,a:'-' + . . . . +Y,^»-f- Y.a?+Yo=o, (g^)

les coefficients Y„, etc., désignant des polynômes entiers en j. On peut , sans restreindre la généralité de la démonstration, supposer que zéro est la valeur de x qui fait évanouir^, jk',/", etc. Or, pour que jr s'évanouisse en même temps que x , il faut que Yo soit de la forme Tojr, Yo désignant un autre polynôme enj^. Substituons cette valeur de Yo dans l'équation {g) et différentions : il viendra

/2Y„^~--f.(/i— i)Y„^,a:«-'+. . . .+2YaJ?+Y.

Pour x=o , on a par hypothèse j=io , et cette équation se réduit à

Mais, par hypothèse aussi, on doit tirer de l'équation précédente ^^=0 : donc Yi est divisible par^ et de la forme Ti^.

En passant à la seconde dérivée de l'équation (^), on a

l>IFFiRENTIA.TION DES FONCTIONS JMrl>LIGlTES. 237

«(«— i)Y„a:~-2+(/i i)(/i— 2)Y,.a:«-5-|-. . . .+aY,

+îy-'[/iY>'-«+(«— i)Y'^.ic— + +aY>4-Y.+irj-]

+r''[Y'n^+YV.^^'+ +Y>*+Y',ar-hY,4-Y'or]=o.

Quand on fait à la fois x=o , j^-=o , ^=o, cette équation se réduit à

2Y.+/'Yo = o; donc, si^^' doit s'évanouir en même temps, il faut que Y,* soit de la forme Y^jr. En procédant toujours de la même manière, on prouverait que^ est facteur commun de tous les termes de l'équation (g), de laquelle on tire par conséquent^/tzno, quel que soit a:, ce qui démontre la proposition énoncée.

Il suit de là, comme on l'a annoncé [87 et io3], qu'une fonction exprimée dans une portion de son cours par la fonction algébrique ^ir, et dans une autre portion par la fonction algébrique^^o:, non identique avec la première , éprouve nécessairement une solution de continuité, d'un ordre plus ou moins élevé, pour la valeur de a: qui correspond au raccordement des fonctions /,/, : car autrement la fonction algébrique yzzzfx—f^x

s'évanouirait, ainsi que toutes ses dérivées, jusqu'à l'infini , sans être identiquement nulle , contrairement à ce que l'on vient de démontrer.

^ 135. Nous avons admis aussi [70], et l'on admet communément , mais sans démonstration formelle , que la fonction

constitue une transcendante irréductible, qui ne pourrait s'exprimer par une fonction algébrique , explicite ou

238 LIVRE m. CHAPITRE II.

implicite. Voici le calcul très-simple par lequel M. Liouville établit cette proposition importante (»).

En premier lieu, si log x pouvait être exprimé par

une fonction algébrique explicite --, dans laquelle X, X,

désignent des polynômes entiers en x^ qu'il est permis de supposer premiers entre eux, la difFérentiation donnerait

- ^^ , ou — -X'X.-XX,,

d'où il suit que X, est divisible par Xy et que X ne Test pas ; sans quoi il ne serait pas premier avec X,. On peut donc poser

lL.=.od^ a , doù X', = n x'^"' S -H a;» S' , S désignant un polynôme non divisible par x^ et nnn exposant positif entier : en conséquence , il vient

^an-i B»=: ;c»aX' — «^»*-'= SX— ^•'•S' X , OU

/iSX=a:(EX' — S'X)— ^'^S- ,

équation absurde , puisque le second membre est divisible par X , tandis que le premier ne l'est pas.

Supposons maintenant que la fonction^milog x puisse être déterminée implicitement par l'équation algébrique

/(x^)^x^r+Xn-,r-^ + -^x;7+x,=o, {h)

les coefficients X„, etc., désignant des polynômes entiers en X : on aurait

et en remettant pour^' sa valeur donnée par la défini» tion de la fonction logarithmique,

(') Journal de Mathématiques, t. II , p. 6&,