BIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

Or, si Tune des racines de l'équation («*), supposée irréductible, c'est-à-dire non décomposable dans des facteurs rationnels en ^, a la propriété de satisfaire identiquement à l'équation (A), celle-ci, dont le premier membre est une fonction rationnelle de .r, sera aussi vérifiée identiquement par toutes les autres racines de Téquation (/). Donc, en désignant par /i,^,,. . . .j^j ces racines qui sont en général autant de fonctions différentes de Xy on aura

dx , dx r dx ,

et par suite

ce qui vient d'être démontré impossible.

La transcendante e^ ne peut pas davantage s'exprimer algébriquement : car l'équation /(a:, e*^)i=:o^ /étant une fonction algébrique, équivaut à /"(logjr, ^)=o, dont on vient de prouver l'impossibilité.

Au contraire , les sinus et cosinus et les arcs de cercle . ne constituent pas des transcendantes irréductibles algébriquement, puisque ces transcendantes se convertissent en exponentielles et en logarithmes, et que la complication des radicaux imaginaires ne change rien à la nature de la fonction , au point de vue de l'algèbre.

Les puissances à exposants irrationnels ne constituent pas non plus des transcendantes irréductibles , puisque l'expression ^7^=.r« équivaut à^/=c*^*^8* j et qu'ainsi l'opération sur X j indiquée par ^«, ot désignant un nombre irrationnel , peut se résoudre dans l'opération sur x in-

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diquée par la caractéristique logx, et dans l'opération sur u indiquée par la caractéristique é^.

Il resterait à montrer que les fonctions é' , log x sont aussi irréductibles entre elles ; mais , pour cette démons tration plus compliquée que les précédentes, nous renverrons au mémoire cité de M. Liouville.

En général , la preuve de l'irréductibilité des diverses fonctions transcendantes est un sujet de recherches qui font suite à celles dont l'objet est la divisibilité des nombres et la décomposition algébrique des équations. Elles ont pour caractère commun de tendre au perfectionnement de la théorie plutôt qu'au progrès des méthodes sur lesquelles reposent les applications du calcul. Comme on procède presque toujours dans ces recherches par la réduction à l'absurde, on doit s'attendre à y rencontrer les difficultés et les complications d'un mode de démonstration qui atteint la rigueur logique, mais qui n'éclaire point l'esprit sur l'enchaînement rationnel et sur la génération des vérités démontrées.

S a. Changement de variables.

136. C'est ici le lieu de traiter généralement du changement des variables indépendantes , sujet que nous n'avons fait qu'indiquer en exposant les principes de la théorie des dérivées et des différentielles [89 et 56].

Supposons que, dans l'hypothèse oîijr est considéré comme fonction de la variable indépendante x^ cette fonction et ses dérivées des divers ordres entrent dans la composition d'une formule