CHANGEMENT DE VARIABLES
il s'agit de savoir comment les dérivées
^, tL, tl dx da^ dx^ '
doivent s'exprimer en fonction d'une troisième variable
t^ prise pour variable indépendante, et liée à j?, ^ au
moyen de l'équation donnée
En différentiant ((p) par rapport à la variable indépendante ^,on obtient une suite d'équations dérivées
d^ dx dfù dy d^ , ,^
d<^ d?x dif d'y d'tf dx* d'f dy dx"dF ~^Jr"df''^'d^'' df "^^'"df
, ^r *^f '^^ ''J . «^? dx d'<f &\d*9^^.^ ^""Kdxdy'dt 'It'^dxdi' dt "^ ^' dtj'^d?-^'^'^ ^ db d^x d»f <Py
etc Mais on a d'autre part
, dy dy dx
^~éc^7t''di' d'où Ton tire
dy // «f-^ f^^ d^y dy d^x\ f^x^
It^^ 'dt~\dt'7F~'di''dF)'' \dtj '
et par conséquent
. ,, éT'j fdx d^y dy d'xX /dx\^
^ ~dx^~V3k''d?~'dt'7Fj' \^J ' Le même calcul donne
tiJf^y ^y jél — Ùl^'él. f^^\ ^^ ^y ^^1 /'^^\^ t- LV dt) ' de dt dt^ ' de^^ dt \ dt' ) ""^ dt '1?\ ' yin) '
et ainsi de suite.
Au moyen des équations (ç), (ç'), (ç''), etc., on pourra chasser des formules précédentes la variable x et ses T. I. i6
dérivées
dx dhx {Px
'dt' "3?' W '
de manière qu'après qu'on aura reporté dans (/) tes
valeurs de
dy dy d}y
cette formule ne renfermera plus que
dy ^ d^y
^'^' 1i' dt-' It^'
on la ramènerait de même à ne contenir que
dx d*x d^x
^' ^'It' IF' le'
137. Le changement de variable indépendante n'est qu'un cas particulier du changement de variables. Si Ton veut substituer aux variables x , j qui entrent dans la composition de l'équation {f) , deux nouvelles variables 2; et ^ , liées aux premières par deux équations
oii t désigne la variable indépendante , on prendra les dérivées successives de ces dernières équations j en y considérant Xy jTyV comme des fonctions implicites de t; et l'on aura une suite d'équations que nous désignerons, pour simplifier, par
(?'),(f),(?"),('l'"),(9"'),(r),etc
Elles seront en nombre un , si -j^ est le plus haut coefficient différentiel qui entre dans (/). Au moyen de ces in équations , jointes aux deux équations dont elles dérivent , on exprimera
dx d^x d^x dy dy d^y . .
""'li'W l?'^'lt'1f\ If^^^^
en fonction de
GH\NGBMeiCT DE VARIàBLES. 243
^''"' It'W "S?' r ^""^
OQ substituera les expressions obtenues dans les valeurs de
dx' dx^' daf"
CD fonction des quantités (i)^ et l'on aura enfin la formule (/*) exprimée au moyen des quantités (a).
138. Il suffit d'indiquer Textension que comporte cette analyse, dans le cas de deux variables indépendantes. Soit „/ dz dz d*z d^z d^z \ ,.
une formule où l'on veut remplacer les variables x^y^z par trois autres u^ Vj t : les deux dernières étant traitées oofflme indépendantes, et toutes trois étant liées à a:,/, z par les équations
ix^yZ^Uy7)^t)=0^ ^Xjr,Z^U^V^t)=Oy Vi{x^fyUyVjt)z=lO . (0)
On aura :
dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy
îv Ix'dv'^'d^'dv^ 1i dx''di'^'dy''dt^
^d^ fdx\^ d^z dx dy ^ /dy^
dv'—dx'\d^J '^ ^ dxdy' dv' dv'^ df\ddj
dz d^x dz (Pf
'^d^'d^^'^d^^dv^'
d^z {Pz dx dx d*z (dx dy dx dy\
dvdt dP''3v''dt'^dxdr\dv'di'^'Tt'd7jJ
d^z dz dy dz d^x dz d*y
'^dj^'dv'lû'^dx' dvdt '^dp'dvdt^
^£z fdxV d^z dx dy^ d^z fdyV
dz d*x dz d*y ■^rf^" dP'^Jy'dP' etc.
De ces formules on tirera les dérivées partielles
dz dz d*z cPz d^z
exprimées en fonction de
dx dy dz dx dy dz Idh' dZ' TU' H' Tt'Yt' d'x dy ^l d^x d'y i£z
dp' dp' d^'' "dF' W de''
ê^x d^Y d^z dvdt' dvdt' dvdt' Mais, d'un autre côté, si l'on différentie les équations (^) , successivement par rapport à v et par rapport à ^, en allant jusqu'aux difFérentielles de même ordre que les plus hautes dérivées qui entrent dans la formule (F) , on aura autant d'équations qu'il en faut pour exprimer les quantités (4) > et par suite les quan* tités (3) , en fonction de
du du d'à (Pu cTu dZ'It'dP'd^t' le' ^''''
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