CHAPITRE III
RÉSOLUTIOW DES CAS d'iWDÉTKRMIWATION POUR LES FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES IN- DEPENDANTES ET POUR LES FONCTIONS IMPLICITES.
THÉORIE DES MJXIMA m MINtMA DE CES FONCTIONS.
S i^'^. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions explicites de plusieurs variables indépendantes.
139. Lorsque des fonctions d'une seule variable indépendante se présentent, pour des valeurs particulières de la variable , sous les formes indéterminées
on lève Findétermination en suivant les procédés indiqués au chapitre III du livre 'précédent; mais si c'est une fonction z de deux variables indépendantes x^jr^ qui se présente sous l'une de ces formes indéterminées pour une couple de valeurs des' variables x et ^, on ne peut trouver, par la méthode citée, la valeur numérique delà fonction, qu'après avoir établi arbitrairement une liaison entre les deux variables indépendantes; et la valeur numérique qu'on obtient pour z varie en général avec la liaison établie entre y et x\ On ne peut donc pas lever absolument l'indétermination de la fonction z^ tant que a; et j* restent indépendantes , mais seulement, en général , assigner des limites entre lesquelles la va* leur de z doit rester comprise.
Soit
etx^f/^ les valeurs de Xjjr qui annulent simultanément
les fonctions y et F. Désignons par/?^, q^, r^, etc., les
valeurs que prennent les dérivées partielles /?, q^ r, etc.,
de la fonctiony[ia4]j quand on y fait x-=.x^^y:=iy^ ;
appelons P«> Q^, Bo» ^^9 l^s quantités analogues pour
la fonction F ; désignons enfin par j^'^ la valeur que prend
(pour le même système de valeurs de x et de y) le rap-
dy , port^'='^, résultant de la liaison que Ton conçoit
établie arbitrairement enti^e^ et x : la valeur de z sera
et sous cette forme générale elle restera indéterminée , à cause de l'indétermination qui affecte le coefficient /*o- Mais si l'on avait simultanément
/io = o,Po=o, (p)
. ou bien
yo=o, Qo==o, (q)
le coefficient jr'^y et par suite l'indétermination de z^ disparaîtraient.
Enfin, si les deux systèmes d'équations (/?), (q) subsistaient simultanément, il faudrait prendre les dérivées du second ordre des fonctions fy F, qui sont, en général, r+asy+t/^ + q/' y.
R+aS/+T/*+Q/', et qui se réduiraient pour .r=j;^,^==/., en. vertu des équations ($^), à
d'où
valeur qui est généralement indéterminée, par suite de l'indétermination du coefficient ^'o.
RiSOLUTION DES CAS p'iNDlh'XRMIIfATION. 247
Si l'on avait encore ro==o,*o=o,ro=o; Ro=o, S«=o,To=o , il faudrait passer aux dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite. Rien n'est plus simple que de généraliser cette analyse pour un nombre quelconque de variables indépendantes.
I*' exemple.
loff 0? + loffy ^- ar+a/— 3 '*•-*» •^•-'il vient
^.= 1, ?. = «> Po=>. Q. = a.
d'où
z. est susceptible de prendre toutes les valeurs entre
— 00 et -|-oo .
a* exemple.
on a
/'•=o, ?«=|, Po=o, Qo = — I , ce qui donne à z^ la valeur déterminée — f . 3* exemple.
les ëquatioDS Q^) et (^) sont satisfaites; on est obligé de passer aux dérivées du second ordre, et il vient r.=i=a, *.=a, *.=:a; R,=:a , S.=o, T„ = a, d'où
La valeur de z^^ quoique indéterminée, est renfermée
248 LIVRE m. CHAPITRE III.
entre les limites o et -|- a, comme on le trouverait en appliquant à cette fonction cle^'^ '^ règle ordinaire des maxima et minima.
140. La méthode que l'on vient d'exposer peut tomber en défaut, quand les fonctions ^^^ gr^, P^, Qo, etc., sont infinies , ou se présentent elles-mêmes sous des formes indéterminées ; et alors il faut recourir à des artifices particuliers de calcul. Considérons, par exemple, la
fonction
z =7 \/lFT7* ,
dont les dérivées partielles du premier et du second ordre sont
y a? a/^ + Sj^r'
'''^{x'+xy.' '~{x^+fyi' ^~{x*+f)^ '
Le système de valeurs 0:0=0,^0=0 annulle la fonction z et donne à ses dérivées partielles la forme 3- : de plus, il est facile de s'assurer que la méthode précédente ne serait pas propre à déterminer les véritables valeurs des quantités/?, gr, r, Sy t; mais, si l'on considère un système de valeurs très-voisines, pour lequel
j=7o + Aro=Aro>
et si l'on pose ^jr^=ia\a:^j il viendra
a i + aa'
''^-(i +«*)!' '^-(i +«*)!' ^°-(i +«»)!• On peut faire maintenant converger A j;^ vers la limite zéro, et à cette limite a se changeant en /'„, ou aura
RÉSOLUTION DES CAS D'lirDÉTERHIiri.TIOir. 249 Po = 0, î. = 0,
Les valeurs de r^, j^, ^ restent indéterminées; mais elles demeurent pourtant comprises entre de certaines limites qui sont, pour :
r„, ^let-f I, répondant à yo=— w >7'o?=+^ >
Jo, o et+i , /cF=Hioo ,/'o= o ;
^0, — a et+2, 7'o=— 00 j7-'„=+oo .
$ 2. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions implicites.
