Soit

une équation qui détermine implicitement y en fonction de Xy et posons

si le premier membre de l'équation (c) s'évanouit pour x:=zx^^ quel que soit^, on ne pourra pas tirer immédiatement de cette équation la valeur correspondante /«qui sera en apparence indéterminée. Dans ce cas, la fonction

/(•^o,r+Ar)— /(ar,,j)

s évanouira, quelles que soient les valeurs àejr et de Aj^^ et par conséquent la fonction f^ {^ojX) s'évanouira aussi indépendamment de j. Donc l'équation dérivée de (c),. qui est en général

se réduira, pour .r=a;^, à

et de cette dernière équation on tirera la valeur de j^;. Si elle était encore satisfaite identiquement, on recour-

250 LIVRE III. CHAPITRE Ilf.

rait à l'équation

et ainsi de suite.

Soit, par exemple^

réquation dérivée sera

et se réduira , pour x=iO^ à

— i+7« = o, ou/o=i .

Prenons encore

/(j7,7)=:(^— i)^— ^[log(i + «)]' = o, x. = o: il viendra pour première équation dérivée

{arx'-[log(i+*)r|/+axCr-i)-a/î^^5^=o .

Supprimons le terme en jr' qui doit s'évanouir pour a;=o, et il restera l'équation

^(i + ar)(;^— i)— 7log(i+>r)=o , laquelle est encore satisfaite, indépendamment de /, par la valeur ^=0; mais si l'on en prend la dérivée

[2jra;(i+x) — ^log(i+^)]/+(y*— i)(i— aar) ^=0 ,

et que l'on fasse dans cette seconde dérivée x=o, les valeurs correspondantes dejr seront les deux racines de l'équation