Considérons une équation différentielle
f(x,r,/)=o, (co
et supposons-la d'abord mise sous la forme
désignons par x^jj'o '^s valeurs de .r, jr qui annulent à la fois les fonctions f, F, et par ^'^ la valeur correspon-
RÉSOLUTION DES CA.S d'jiCDÉTERM1NA.TIOIC. 251
dante de ^' : en vertu de la formule (a), la valeur de Y\ sera donaée par Téquation du second degré
^'•=ê^^' ou Q.r."+(P.-î.)/.-/'. = o .
Si les équations (/?) et (^) se trouvaient en outre satisfaites, la valeur de y\^ d'après la formule [b\ serait racine de Téquation du troisième degré
ou
Tq/.^ — (aSo — ?o)y%4-(Ro— a5o)/o — ro=o ; et ainsi de suite.
Il peut se faire néanmoins que la valeur de ^'^ soit efFectivement indéterminée : comme cela arriverait, par exemple , si l'équation
Qy»4-(P— y)/— /^=o était satisfaite pour toutes les valeurs de y\ indépendamment des valeurs attribuées à a: et à ^. Alors l'équation
T/3-|-(2S — r)/*4-(R-25)/— r=o, et toutes celles qu'on pourrait obtenir par des difFérçntiations subséquentes, jusqu'à l'infini, seraient aussi satis£aiites identiquement. On reconnaît ainsi que la valeur de y' donnée par l'équation
est réellement indéterminée pour le système de valeurs
En général , lorsque les valeurs particulières x^ , j^ satisferont à l'équation (c'), indépendamment de ^', la dérivée de cette équation
di d{ , di j,
se réduira pour les mêmes valeurs à
l'expression { -j-7 ) , qui représente la valeur de —,
pour /— o, devant s'évanouir d'après le raisonnement qu'on a' fait plus haut [i4<]- Les fonctions
doivent généralement renfermer les trois quantités x^ , J'o^J^'oi ce qui empêchera que l'équation (c"^) ne soit linéaire par rapport à l'inconnue^^.
Admettons que l'équation (c') soit algébrique par rapport à^', ou qu'elle ait la forme
fo(^, 7)4-f.(^jr) • /4-fa(^i r) ./"+ etc. = 0 : l'équation (c'\) deviendra
et conséquemment elle sera, en général, par rapport à j-'^, d'un degré supérieur d'une unité au degré de l'équation (c') par rapport à jr'.
S 3. Maxima et minima des fonctions explicites de plusieurs variables.
