Étant donnée la fonction de deux variables
si l'on établit une liaision arbitraire entre les variables jet Xy z deviendra fonction de la seule variable indépendante X, et l'on aura
etc.
Nous surmontons d'une barre les différentielles dz, d^z, etc., pour indiquer des difTérentielles totales; les lettres p, g, r, etc., ont la signification convenue [124J; et/^'^jr", y'\ etc., désignent, selon l'usage, les coefficients différentiels de^, considéré comme fonction de Xy en vertu de la liaison arbitraire que l'on conçoit établie entre ces variables. Cela posé, on aura pour condi«tion commune au maximum et au minimum [91]
p + qy=o; (rf)
et en outre l'inégalité
r + 2sf + ty + qf < o {d,)
devra être vérifiée dans le cas du maximum, de même que l'inégalité contraire
r+^y + ty^ + qf > o , (<4)
dans le cas du minimum. Si maintenant on établit que ces conditions sont satisfaites, indépendamment de la liaison arbitraire conçue entre jr et Xy on aura déterminé par là même les conditions du muximum ou dû minim,um de la fonction z, dans l'hypothèse de l'indépendance des variables x^j.
Pour que l'équation {d) soit satisfaite, indépendamment de toute liaison entre^ et x, il faut qu'on ait séparément
ce qui réduit les inégalités {d^tt {d^ k
.254 LIVRE m. CHAPITRE III.
r+a5/-|-^/* <o, r-ha^y 4-/7'» > o .
Pour que le premier membre commun à ces deux dernières inégalités conserve le même signe , quelle que soit la valeur assignée ky, il faut que Téquation
résolue par rapport kj'\ ait ses racines imaginaires, ce qui entraîne la condition
s^^rt< o, (jsr)
et ce qui exige par conséquent que les fonctions r, i soient de même signe, après qu'on y a substitue les valeurs de x, y tirées des équations {e). Quand l'inégalité (^) sera satisfaite par ces valeurs, il y aiira maximum ou minimum^ selon que les fonctions r, t deviendront toutes deux négatives ou toutes deux positives.
* 144. La théorie des maximu et minima des fonctions de deux variables se lie très-simplement à la considération des lignes de niveau [127], dont l'équation (rf) est précisément l'équation différentielle. Il est évident qu'au point {xyy) pour lequel la fonction z est un maximum ou un minimum^ la ligne de niveau doit s'évanouir, ou plutôt se réduire à un point isolé. Il faut donc (ainsi que nous l'expliquerons plus en détail à propos des points singuliers des courbes planes) qu'on ne puisse pas tirer .de l'équation
une valeur réelle de y j bien que les valeurs Aep^q ne soient ni imaginaires; ni infinies, sans quoi la fonction z cesserait d'être réelle, ou éprouverait une solution de continuité du second ordre au moins. Par conséquent
MAXJMA £T BIINIMA. 255
il faut que la valeur précédente de y' se présente sous la forme indéterminée |, et qu'ainsi Ton ait, pour le maximum comme pour le minimum y p=zOj y = o. Dès lors y d'après ce qu'on a vu plus haut [i4^], la véritable valeur de^' sera donnée par l'équation
^ s + tf'
qui ne diffère pas de l'équation (/*); et afin qu'on ne puisse pas tirer de cette équation des valeurs réelles pour /', il faut que l'inégalité {g) soit satisfaite. Si Ton a au contraire l'inégalité 5* — rt > o , on tirera de l'équation {J') deux valeurs réelles de^' : le point ipCy y^ sera le point d'intersection de deux branches d'une ligne de niveau nmn, nf mn (fig. 4o), qui divisera le plan x)c autour du point m en quatre régions , dans deux desquelles la valeur de z ira en croissant à partir du point m^ tandis qu'elle ira en décroissant dans les deux autres , à partir du même point.
145. Les conditions {e\ (g) sont celles du maximum ou du minimum absolu : si l'on établit entre ^ et x la liaison exprimée par ^=fx^ et qu'on détermine daus cette hypothèse la valeur de x qui rend la fonction z un maximum ou un minimum relatif, cette valeur sera 1 abscisse du point où la ligne ^=f:r est touchée par une ligne de niveau.
En général , on entend par maxima et minima relatifs ceux qui n'ont lieu qu'après qu'on a établi entre les variables indépendantes des liaisons arbitraires qui en réduisent le nombre.
146. Régulièrement les coefficients r, j, t de l'équation (/) ne dépendront que des variables x^j et non
de /'; mais s'il arrive que ces coefficieiits se présentent accidentellement sous la forme ^, il pourra se faire que leurs vraies valeurs, trouvées par les procédés qu'on a indiqués au commencement de ce chapitre ^ varient avec^'; et alors l'équation (/) ne se trouvant plus du second degré par rapport à^', les raisonnements qui précèdent tomberont en défaut. Soit , par exemple ,
d'après le n® i4o, les équations (e) seront satisfaites pour le système de valeurs x=Ojj'=Oy et l'équation Çf) deviendra
Comme cette équation a la racine réelle ^'=o, le système des valeurs citées ne correspond pas à un maximum ou à un minimum de la fonction z. Dans tous les cas semblables , on n'a plus à considérer l'inégalité {g). 147. Lorsque les valeurs de x^y qui satisfont aux équations (^), vérifient aussi les équations
r = o, ^=0,^ = 0, (tf.)
réquation [f) n'est plus propre à donner la valeur de^', qui se tire alors de la formule
, ^ H- a my' -f- wY^
?// H- 2 wf + vf* ou
w + 3tt// + 3fv/"4-vy' = o. (/;)
Comme cette équation est d'un degré impair par rapport àjr', tant que les dérivées partielles du troisième ordre w, <^,?//, w ne dépendent point de^', elle a nécessairement une racine réelle, et par conséquent les valeurs x^y qui sont racines des équations {e) et (éfi), ne
peuvent rendre la fonction z un maximum ou un minirmmiy à moins qu'on n'ait séparément
a=o, ui=o, w=o, i; = o , (c,)
c'est-à-dire à moins que tous les termes de la différentielle totale du troisième ordre
ne s'évanouissent séparément, comme ceux des différentielles totales du premier et du second ordre. Il faut en outre que le polynôme du qiiatrième degré en /'
'Wz
ne donne pour y\ quand on l'égale à zéro, que des racines imaginaires; et cette nouvelle condition étant satisfaite, il y a muxùnum ou minimum^ selon que le polynôme reste constamment négatif ou constamment positif pour toutes les valeurs de^'.
En poursuivant cette analyse^ on arriverait à la règle générale qu'il faut, pour l'existence du maximum ou du minimum: \^ que la première dérivée totale dont tous les termes ne s'évanouissent pas séparément soit d'ordre pair; 2° que cette dérivée totale conserve le même signe (négatif dans le cas du maximum^ positif dans le cas du minimum)^ quel que soit le rapport arbitraire établi entre les accroissements infiniment petits des variables indépendantes.
Telle est, en effet, la règle que les auteurs ont coutume de donner sans restriction, mais qui en comporte une très-importante. En effet, si, par exemple, quelquesunes des dérivées partielles u^ vi^ (v, ^, se présentaient sous les formes indéterminées ^, S, et que leurs vraies valeurs fussent susceptibles de varier avec/*', l'équation T. I. 17
258 LIVRE m. CHAPITRE III.
(/i) pourrait, ou cesser d'être algébrique, ou n'être plus d'un degré impair par rapport à^', et n'avoir que des racines imaginaires; en sorte qu'il pourrait y avoir maximum ou minimum, sans que les équations {e^ ) fussent vérifiées.
148. Quand la fonction z éprouve une solution de continuité du second ordre, et que les dérivées^, q^ deviennent toutes deux infinies, la valeur de/' est encore donnée par l'équation {d ) sous une forme indéterminée; et il convient de recourir à une discussion spéciale pour chaque cas, afin de reconnaître si cette circonstance correspond ou non à un maximum ou à un minimum de z.
Soit, par exemple,
d'où
*ix iy
le système de valeurs a:=o, jr=o annule z et rend p et q infinis; car, si l'on pose^^ax, il vient
Vx. ( 1 4- a' )» Vx.{l + ^y
valeurs infinies pour x:=io. Mais à cette limite le rapport a se change en^', et l'équation (d) donne
/=— ^= — -,, doù/=±:\/i:i.
L'imaginarité de ces Valeurs de^' montre qu'il n'y a pas de ligne de niveau passant par l'origine des coordonnées, et qu'ainsi ce point correspond à un maximum ou à un minimum de z. D'ailleurs, la forme de la fonction fait voir qu'elle ne peut admettre qu'un minimum^
MAXIMA ET MIHIMA. 259
149. Considérons maintenant la fonction de trois variables u=f {x^ )r^ z)^ et, pour plus de commodité, faisons usage de la notation
du du du
di—P^'d^=P''d^—P'''
d'à d'u rf'«
'dP~''^'~d^^ —''''57—''''
d^y — ^^'^' dxdz—'^'^'dPd^—'"'^' Si Ton conçoit des liaisons arbitraires établies entre x et chacune des deux autres variables j- et 2, u deviendra fonction de la seule variable x^ et l'on aura, pour réquation commune au maximum et au minimum^ du
En conséquence^ pour qu'il y ait maximum owminimiun absolu [ 1 45], ou pour que l'équation précédente soit satisfaite indépendamment des rapports arbitraires y, z\ il faudra qu'on ait séparément
/? =0 , /?, = o,/?8 = oj^ (E)
ce qui réduit l'expression générale de —!i au polynôme
Il faudra en outre que ce polynôme conserve le même signe, sans s'évanouir, quelques valeurs réelles qu'on attribue à y, z ; et pour cela que l'équation en j', z qu'on formerait en égalant ce polynôme à zéro, ne donne jamais à Tune de ces variables une valeur réelle, quelle que soit la valeur réelle de l'autre variable.
En résolvant cette équation par rapport à /, nous trouverons quey reste constamment imaginaire, si Ton a, quel que soit z',
OU
Cette dernière condition se vérifie à son tour, si Ton a
d'abord
^i.,' — '•i ^ < o , s^/—r^ Ta < o , (G)
et ensuite
( ^i.a ^3 — ^ ^.,3 )' — ( ^i..* '•i '•i ) ( S,/ — r, Ta ) < G . (G,)
Les inégalités (G) exigent que les trois dérivées partielles r,, r„ Ta soient de même signe; et l'une de ces inégalités étant posée, l'autre est une conséquence de l'inégalité (G,) : de sorte que cette dernière inégalité, jointe à l'une des inégalités (G) et aux équations (E) , compose le système des conditions requises pour l'existence du maximum ou du minimum. La symétrie indique que dans ce système on doit avoir aussi
Il y aura maximum si les trois dérivées r„ a*,, r^ sont négatives^ et minimum si elles sont toutes trois positives.
Si les valeurs de a:, j, z qui satisfont aux équations (Ë), vérifiaient les suivantes
r,=o,r,= o, r3 = o;^,,= o, 5,3=0 , s,,3=o, (E.) il faudrait, pour l'existence du maximum ou du mini^ mujUy que les mêmes valeurs annulassent toutes les dérivées partielles du troisième ordre, et que la dérivée totale du quatrième ordre conservât constamment le même signe (négatif dans le cas du muximum, positif dans le cas du minimum)^ indépendamment des rapports arbitraires jr :i; et ainsi de suite.
Néanmoins, la règle tomberait en défaut, si les dérivées partielles qui ne s'évanouissent pas se présentaient sous une forme indéterminée, et devenaient fonctions
des rapports ^^ z* y comme on en a vu des exemples, à propos des fonctions des deux variables.
£lle tomberait encore en défaut, et il faudrait recourir à une discussion spéciale pour chaque cas, si les dérivées partielles du premier ordre ou des ordres supérieurs devenaient infinies.
150. Comme application de cette théorie, proposonsnous de déterminer, parmi les triangles isopérimètres, celui dont l'aire est un maximum.
En appelant ic le périmètre, x et y deux des côtés, i Taire du triangle , on a la formule connue
^=1/ c{c — J7)(c — y^^-^-y — c) • Les équations du mcucimum sont :
/?=2 — ) .-^^^ ., -^^ =zro, 2 |/^c(c-j:)(c?— 7)(^-+-j— c)
2 |/'c?(c— <3c)(c — yX^+y-T^c)
ou plus simplement, en écartant les solutions .r == d. oo,
(c— j) (2Ç — 2JF — •/) = O , (c — x) (2C 2J — O:) = O .
Ces dernières équations se décomposent dans les quatre
systèmes.
x-sziCyHC — 2a: — y=:o; \ ou|a:=c,7=o; 2c— .27 — x=zo , 2c — 2^ — 7=0 ; I |a;=7 = f c .
liC dernier système est le seul qui satisfasse à l'énoncé géométrique de la question : les autres répondent à des cas 011 le triangle est impossible.
On a
5 = — Il/C.
' [{c-y){a:+y-c)f' £n conséquence la condition exprimée par rinégalité (g) devient après réduction
{x +y — cy >o, et se trouve satisfaite pour toutes les valeurs réelles de Xy j. D'ailleurs, il est visible que r et ^ sont négatifs : ainsi le système x = ^ = ^ c correspond bien à un maximum de la fonction z. On en conclut que le triangle qui satisfait à la question est équilatéral, ce qui se démontre au surplus en géométrie élémentaire.
151. Cherchons encore le système des valeurs de x^y qui rend un maximum la fonction
a 4- i^ H- cj
nous aurons les équations
h — ax+yi^hy — ex)
c — ay + xicx — ij)
ou plus simplement
h — ax+y(J>y — ra:)==o, c — ay-\-x{cx — i/)=o . (A)
On y satisfait en posant
h — aa:=o, c — fljnzo, doù by — cxz=lo \ \t)
ce qui donne pour la valeur maximum cherchée
Le système (i) comprend d'ailleurs toutes les solutions réelles du système (k ) ; car si l'on opère entre les équations (A) l'élimination de^ à la manière ordinaire^ ou aura pour l'équation résultante en x
MAXIMA. ET MIiriMA. 263
{b — aj?)[(i* + c*)j;' + aa*a: + a* + c*] = o ; et après qu'on a tenu compte du facteur b — ax^ l'autre facteur ne donne pour x que les valeurs imaginaires
On a
(o-l-c/) (i+jr'+7')4-3x [b — ax+jr{by—cx)]
( iby — C3c){^ I -f- •^*+'J*) — 3/[i — aX'\-y{by — cx'\ '^ (i+^»-f./)^ '
Pour les valeurs de ^ , ^ qui satisfont aux équations (z), œs expressions se réduisent à
a\a^+c') a'bc a\a'+b') .
'^="~(^?+p+?)l' ^=(a»+i*+c*)4' ^"^(a'-+.i'4-c*)f ' et l'inégalité {g) devenant
est nécessairement vérifiée. De plus, il ne peut y avoir lieu à un minimum , puisque les valeurs de r, t sont essentiellement négatives.
Nous conclurons de ce calcul que les valeurs des quantités variables ^', z\ qui rendent un maximum la fonction
donnent à tt la valeur l^X*+ Y* -hZ* , ainsi qu'on l'a annoncé [129], et sont déterminées par les équations Y— X/=o, Z^Xz'=o.
Il resterait à faire voir, pour justifier ce qui a été dit dans le n^ cité , que les équations
appartiennent à des lignes qui rencontrent normalement les surfaces caractérisées par Téquation différentielle
XflCr -+- Yrfj 4- Zrfz = o ; mais ceci résultera de la théorie des surfaces courbes, qui doit être exposée dans le livre suivant.
S 4* Maxima et minima des fonctions implicites.
152. Pour déteriâiner les maxima et mirdmu de la variable ^^ donnée implicitement en fonction de x par l'équation
on posera
et l'on tirera des équations (A) et [h!) les systèmes de valeurs de x et de jr qui peuvent rendre la fonction^ un maximum, ou un minimum. On substituera ces valeurs dans l'équation
qui se réduit , à cause de /'zzz o , à
afin de s'assurer que les mêmes valeurs ne font pas évanouir y, et en même temps pour distinguer, s'il en est besoin , le muximum du minimum^ au moyen du signe que prend /'.
Soit , par exemple , l'équation
x^ — 'iaxy -h j^ === o , (a)
qui représente une courbe (Jig. 44 )? connue sous le nom de Folium de Descaries : on en tirera
, ay — x^ . , ,.
MA.XIMA ET HINIMA. 265
et, en conséquence , l'équation commune au maximum et au minimum sera
ajr — x^ = o. (p)
Par l'élimination de^ entre les équations (a) et (p),
il vient
jfi — 2û^ j:''=o,
équations dont les racines , les seules que nous voulions
considérer , sont
jf = o, ar = av 2 >
auxquelles correspondent pour^ les valeurs réelles
Uéquation (A") devient
(/• — ax)/' 4- 20: = o ;
et quand on y substitue les valeurs x=al/^ /= ^^^ elle donne^'= : par conséquent ce système correspond bien à un maximum si a est positif, ou à un minimum si le même coefficient est négatif.
Pour le système a: = o,^^o, la valeur de^' se présente , en vertu de l'équation (a ) , sous la forme indéterminée 3 ; mais la dérivée de cette équation , ou la seconde dérivée de la proposée, est
(/* — ax)y^ + ajj'* — 2^7' 4- 2X == o , tandis que l'on a pour la troisième dérivée
(j' — ûj;)/" + (67/ — 3a)y'+a/'-ha = o.
Quand on fait dans ces deux équations ^=0,^=0,
elles se réduisent à j^' = o,^" = ô~" • P^** conséquent
ce système de valeurs correspond à un minimum Atj.
Si maintenant nous remarquons que la proposée est
symétrique par rapport aux. variables x'^jj nous con-
266 LIVRE III. — CHAPITRE lll.
cluroQS de ce que le système x=o ,^=o read nulle une des valeurs de -y-, tirées de cette équation, qu'il doit .
aussi rendre nulle une des valeurs de nr , et , par con-
dy séquent^ rendre infinie une valeur de nr ou de /.
Ainsi ^ les deux axes des a: et desjr touchent à rorigiae la courbe représentée par l'équation proposée.
153. S'il s'agit de déterminer les valeurs de x,/ qui rendent un maximum ou un minimum une fonction z de ces deux variables donnée implicitement par l'équation
on posera p=o^ Ç=^^> ou
da: • dz—'''^'^ — ''' ^^^
au moyen de quoi les équations desquelles doivent se tirer les valeurs des dérivées partielles r, s^ ^[i33], se réduiront à
df d'f df d^f df d^f
dz dx^ ' dz dxdy ' dz dy*
Il faudra s'assurer que les valeurs de Xy jy z, tirées des équations (/) et (m), et substituées dans les expressions de r, J, ty satisfont à l'inégalité {g). Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur les cas exceptionnels qui peuvent se présenter , et que l'on résoudra sans difficulté d'après les principes déjà établis.
