Soit

une fonction de n variables liées entre elles par m équations de condition

MAXIMA ET MIiriMA. 267

de sorte qu'il i^este n — m variables indépendantes. Si l'on veut rendre la fonction u un mcLxitnum ou un minimum y il faudra poser l'équation du=:o , ou

^^+^^:r+ï^-*- =o. in')

Les équations {n) entraînent les suivantes :

Après qu'on aura éliminé m différentielles dxj dy^

dz^ entre les équations {n!) et («") , on égalera

séparément à zéro les multiplicateurs des/i — m différentielles restées arbitraires, et ces n — m équations, combinées avec les équations (/i), détermineront les sys^

tèmes de valeurs de a: , ^, z , , propres à rendre la

fonction uun maximum ou un minimum. Il faudra ensuite s'assurer que la fonction d^u devient , par la substitution de ces valeurs , négative dans un cas , positive dans l'autre, quels que soient les rapports des différentielles restées arbitraires : ce qui pourra exiger des calculs compliqués.

Quant à l'élimination entre les équations {p!) et (/ï"), elle s'opère élégamment par la méthode des facteurs indéterminée , dont on fait un fréquent usage eu analyse. Concevons qu'on ait multiplié respectivement les premiers membres des équations {n") par des facteurs Xx , X, , . . . . X« , et qu'on les ajoute au premier membre de l'équation {n!) ; qu'ensuite on égale à zéro les multi-

268 LIVRE m. CHAPITRE III.

plicateurs de chaque différentielle dans l'équation résultant de l'addition indiquée; on aura n équations

i+^7p+^'-r;+ +X„^=o,etc.,

entre lesquelles on pourra éliminer les m facteurs ^yX,,. . «Xiiiy de manière à obtenir les équations finales, en nombre n — m.

155. Admettons^ pour prendre un exemple, que Ton cherche le minimwn de la fonction

les variables XjjjZ^ étant liées par l'équation

de condition

ax + by+ cz .,..,. = A ,

dans laquelle a^ bj c, k désignent des nombres

constants. On aura , en opérant d'après la manière qui vient d'être indiquée,

ar + ûX, = o , 74-^X1 = 0, z4-c\=o,etc. , ce qui équivaut à

abc On en conclut, d'après les propriétés connues des proportions , x' r' z^ a:*+r'+^*+ etc. u

a'~y ~ tf> — ^'^- a'^y+c'+ etc. ~ a'+b'-^c'+ etc. X* r* z* a7*+r*+j3*-h etc. u

ax by cz ' ax-^bjr+cz+ etc. k

et par suite u ^ V/Z k'

* l/a'-f.i*+c*+ etc. ' a*+**H-c'+etc.

Pour s'assurer que cette valeur de u €st bien un mini-

HAXIMA £T MmiMA. 269

mwn , il suffit de poser Tëquation identique

(û*+*' +c*-hetc.) (a7'+7*+z*-hetç.)=(a;r+*7+c^4-etc.)> + {bx — ayf +{cx--azf + etc. ,

qui devient dans ce cas

k^-^{bx—ayf -f- {cx—azf + etc. .

** a*-4-**+c*+etc» '

par où l'on voit qu'en effet l'inégalité

a* + ** + c*+etc.

est vérifiée pour toutes les valeurs des variables qui ne

satisfont pas aux équations (o).

Si les variables x ^ y^ z^ se réduisent à trois et

désignent des coordonnées rectangulaires , la valeur

minimum de v/^mesure la distance de l'origine au

plan

ax+ by + cz'=^k .

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