EXTENSION DE LA FORMULE DE TATLOR

dx dy

et de même

etc. ; on a d'autre part

et Ton conclut des équations précédentes : r{o)=ph'-\'qk ,

r (o) = ttA'^ + 3 mU^k + 3 wKk'' + vk^ , etc.

Substituons ces valeurs dans la formule (fj, et remettoas-y pour A', k leurs valeurs en h^ k : l'auxiliaire a disparaîtra, et il viendra

+ etc. (F)

On peut remplacer dans cette expression les lettres /?, y, r, etc., par les coefScieiits différentiels qu'elles représentent; et si Ton emploie en outre, pour plus de brièveté , la notation symbolique dont nous nous sommes déjà servi [43 et 124]) on obtiendra la formule

fx /A k \dz /A k \^d^z

2i^2 LIVRE in. CHAPITRE IV.

qui met bien en évidence la loi du développement, pour uii nombre quelconque de variables.

La série de Taylor , ainsi étendue , tombe en défaut lorsque 9 pour des valeurs particulières des variables x, y ^ la fonction z et ses dérivées partielles/?, q^r^ etc., ou quelques-unes d'entre elles, prennent des valeurs infinies, ainsi qu'on l'a expliqué à propos du développement des fonctions d'une seule variable [io6]. De plus , elle tombe en défaut lorsque la fonction z ou ses dérivées partielles prenant des valeurs indéterminées, on ne peut lever l'indétermination que par l'établissement d'une liaison arbitraire entre les variables ^,^, et par suite entre les accroissements A et /:, conformément à ce qui a été expliqué dans le précédent chapitre.

157. Soit Vi la valeur du reste qui doit compléter la série (f), quand on l'arrête au terme affecté de la puissance a*: on a [109]

6, 9, désignant des nombres inconnus, compris entre o et I . Donc , lorsqu'on arrête la série (^) au terme

\dx dy) i.2.3....i

le reste R^ qui doit compléter cette série , a pour expression symbolique

* \dx dy) 1.2.3 {i+i)

ou bien encore

^ ^ \dx dy J I.2.3.....Ï

Les nombres 6, 6^^ qui entrent dans ces formules 9 sont inconnus; et elles ne peuvent point servir à calculer