EXTENSION DB LA. FORMULE DE TAYLOR

et, de cette manière, la formule de Maclaurin se trouvera étendue au développement des fonctions de deux variables. On peut encore écrire

\^, àyj 1.2.3 Au lieu de développer par la formule de Maclaurin les fonctions de plusieurs variables, suivant les puissances de chaque variable indépendante, ce qui conduit à des formes de développement très-prolixes , on ne développe plus ordinairement ces fonctions que suivant les puissances de l'une des variables ; mais alors les coefficients des termes de la série, au lieu d'être des constantes, sont des fonctions de toutes les variables indépendantes^ autres que celle suivant les puissances de laquelle le développement est ordonné. Ainsi l'on posera

f 1 f^'y f"y etc., désignant les dérivées de /'par rapport à la variable x. L'emploi de cette formule exigera que les valeurs de 7, z, , ne rendent point infinies les fonctions

/(o,r^ z, ....) , /'(o, /, z, .,..) , /"(o,7, z, ....), etc., et, de plus, qu'on puisse assigner des limites convenables à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un certain terme. Il suit de ces restrictions qu'une formule telle que

.=/(o,j)+/'(o,r),î+/"(o,/).^+/"'(o,r).:£3+etc.

pourra ne représenter une surface que dans une portion limitée de son étendue, savoir dans la portion où les valeurs de jr ne rendent point infinies les fonctionsy(o,^), no,y),f\o,j),eic.

§ 2. Formule de Lag^aiige pour le développement des fonctions implicites.