Étant donnée une équation de la forme

z-=ix-^yfz ^ (a)

on se propose de développer z en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de /. Si j' désigne une quantité très-petite , x sera la valeur approchée de z pour j^=o : une seconde approximation donnera

z = a:+xfa;, (a.)

valeur que l'on pourrait substituer pour z sous le signe /, de manière à avoir une troisième valeur de 2, plus approchée , que l'on substituerait à son tour sous le signe^ et ainsi indéfiniment. Le développement cherché a pour utilité pratique de dispenser de ces substitutions successives.

Quel que soit l'ordre de grandeur du coefficient^, il est évident que le second membre de l'équation (a^) se compose des deux premiers termes du développement que l'on cherche. On trouverait, d'après le théorème de Maclaurin , les coefficients des puissances supérieures dejr en prenant les différentielles successives de l'équation (a) par rapport aux variables z, /, et en faisant ensuite ^=o, z = x dans les valeurs des dérivées d^z d?z d^z

-r— ' —7—' -f-Tï etc. ,

dy^ dy dy^^ '

tirées des équations différentielles. Il est entendu que la série ainsi obtenue doit être convergente , sans quoi le