SÉRIE DE LAGRANGE

résultat du calcul serait illusoire. Les conditions de la coDvergence ont été données par M. Cauchy dans des mémoires auxquels nous renvoyons le lecteur curieux de ces discussions délicates.

Le procédé général que Ton vient d'indiquer, pour déterminer les coefficients des termes successifs du développement cherché , ne donnerait pas , ou donnerait difficilement la loi de formation de ces coefficients; tandis qu'on la met aisément en évidence en considérant j suivant le procédé dû à Laplace , z comme une fonction des deux variables :r,^, en vertu de l'équation (a).

Oq a , en différentiant sous ce point de vue , €& .., dz dz ^ ^, dz

et par suite

dz . dz d^z ' d^z , ^, f dz^^

Cela posé , soit ^^ une fonction de z : on aura

dy ' dxdy ^ ' dx djr

dz d^z et en chassant -5—, , , au moyen des équations (6),

Prenons iJ/2=/z, et la première équation (A), combinée avec la précédente , donnera

278 LIVRE in. CHAPITRE IV.

dy'' dy dx

Si l'on fait ensuite ij;z = (/z)*, on trouvera, par la comparaison de l'équation (c) avec celle que l'on vient d'écrire ,

dy^ dxdy dx^

et comme on peut continuer ainsi de proche en proche ,, il est évident qu'on a , pour un indice n quelconque ,

dy da^-^

dz Quand on fait^=:o, d'où z=:x^ -7-1=: i , cette expression se réduit à

Kdf'Jo dx^-' '

et le théorème de Maclaurin donne en conséquence

160. Soit maintenant 92 une nouvelle fonction de z qu'il s'agit de développer suivant les puissances de 7 r on aura , en vertu de la première équation (è),

et si l'on pose <p'2.yz = «j^-z, la formule (c) donnera

dy* dy dx

Comme on peut tout aussi bien prendre successivement pour i^z les fonctions

SÉRIE DE LAGRA.IVGE. 279

^'z.{fzy y ^'z.{fzy, etc., il est clair qu'on aura généralement

et pour les valeurs particulières jr=o , 2= x ,

df Jo dx^-"^

donc

I ^ "^ 1.2 dx

Les formules {d) et [e) sont évidemment susceptibles de s'étendre à des fonctions implicites de deux ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes.