FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

équation appartient à un cercle de rayon quelconque ^ ayant pour centre l'origine des coordonnées ; et la se* conde équation exprime une propriété commune à tous ces cercles concentriques, celle d'avoir leur tangente perpendiculaire à la droite menée de l'origine au point de contact.

Quand le paramètre a est combiné d'une manière quelconque avec les variables x j j dans l'équation

eu général y ce paramètre entre encore dans la composition de l'équation différentielle

mais si Ton opère l'élimination de a entre les équations (b) et (b^ , on pourra appliquer à l'équation résultante

c€i que nous disions tout à l'heure de l'équation (a!) : elle exprimera une propriété dont jouissent en tous leurs points toutes lés courbes que l'équation (è) représente successivement, quand on attribue à a une suite de valeurs différentes.

Si 1 on se donne arbitrairement la valeur de / qui répond à une valeur quelconque de or, la valeur de la constante a se trouve implicitement déterminée : car, soient x^^y^ ces deux valeurs correspondantes de x et de^, on a entre x^, , jToj ^ l'équation ^(•2^05 Jo, a) = o. La valeur de a qui s'en déduit étant substituée dans l'équation {U) , celle-ci représente une courbe déterminée et assujettie à passer par le point (.î^o? JTo)'

Après qu'on a déterminé la valeur de a , on peut tirer de l'équation {h) les valeurs de la fonction y qui corres-

284 LIVRE Iir. CHAPITRE V.

pondent à deux valeurs distinctes de la variable indépendante X. La différence de ces valeurs est la somme des accroissements infiniment petits que la fonction a reçus dans l'intervalle ; à moins qu'elle n'ait §ubi , dans ce même intervalle, des solutions de continuité [5i]. On dit en conséquence que l'équation {U) est V intégrale de l'équation (c) : celle-ci déterminant la valeur de l'accroissement dy qui correspond à un accroissement dx , pour chaque système de valeurs de x et de^; et l'autre déterminant la valeur de l'intégrale ou de la somme de ces accroissements élémentaires dans un intervalle donné. Puisque les équations {b) et (c) sont équivalentes, en ce sens qu'elles appartiennent à la même série de courbes, on peut déjà conclure de ce qui précède : i^ que si l'on se donne arbitrairement l'ordonnée j^ correspondant à une abscisse x^^ la fonction y et la courbe dont cette fonction est l'ordonnée se trouveront complètement déterminées en vertu de l'équation (c); 2® que si cette équation différentielle est donnée directement, et qu'il s'agisse de V intégrer ^ ou de trouver une équation en x , j^ qui y satisfasse, l'équation intégrale, pour avoir la même généralité que l'équation différentielle proposée , doit nécessairement renfermer une constante arbitraire- Nous reviendrons sur ces propositions importantes lorsque nous traiterons de la théorie de l'intégration : notre but en ce moment étant seulement de donner des notions générales sur la nature des équations différentielles.