FORMATION DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

cette équation, on a les deux équations différentielles du premier et du second ordre , «'F ''F '

t^F rf'F , d'F „ dF „

qui renferment aussi , en général , les paramètres a , b. On peut éliminer a , b entre les trois équations {d)^ {d)^ (r/"), et l'équation différentielle résultante

qui est du second ordre, exprime une propriété commune à toutes les courber auxquelles l'équation (d) peut appartenir, moyennant une détermination convenable des paramètres a, b.

Pour particulariser les constantes a^ &, on pourrait se donner: i^ un point de la courbe, ou l'ordonnée /-o correspondant à une abscisse Xo ; 2° la direction de la tangente en ce point , ou la valeur j'^ de la fonction y pour la même abscisse. En effet , ces données entraîneront les deux équations

F(xo,7o,a,A)=o, (g)^ + (^)/. = o,

jrdF\ /«Fn ^,. /. d¥ dY

f -7- j ( 77" ) désignant ce que deviennent nr; , rr

lorsqu'on y fait x=a:o,^=/o; et de ces deux équations on pourra tirer les valeurs de a , ô pour les substituer dans l'équation {d).

Au lieu d'éliminer immédiatement les constantes a, b entre les trois équations («?), (û?'), (û?"), on peut éliminer successivement i et a entre les deux premières , ce qui donnera deux équations différentielles du premier ordre

dont Tune appartient seulement aux courbes pour lesquelles a possède une valeur déterminée, b restant arbitraire; tandis que l'autre, par la même raison, appartient aux courbes pour lesquelles b possède une valeur déterminée, a restant arbitraire à son tour.

Tant que aetb conservent leur indétermination , chacune des équations (^) et (^) a la même généralité que l'équation (</) ou que Téquation (e). Ainsi l'on tirera de l'équation (/j) en la différentiant , une valeur de^' en .r, ^%y, a, qui satisfera à l'équation (e), quelle que soit la valeur de a. Donc , si l'on élimine a entre l'équation (y^ et sa différentielle immédiate

on retrouvera l'équation (e); et on la retrouverait également par l'élimination de b entre l'équation (/j) et sa différentielle immédiate.

dx^ djr^^d/^ —

Enfin , si l'on élimine jk' entre les équations (/^) et (/^), on retombera sur l'équation (d).

Soit , par exemple , l'équation

a:* — aa: — ij = o , (i)

on aura par deux differentiations immédiates

ao: — a — ^j'zzro, (2)

et ensuite , par l'élimination des constantes « , ^ , l'équation du second ordre

Si l'on élimine alternativement les constantes é, n