FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

entre les équations (i) et (2), on obtiendra les deux équations différentielles du premier ordre

qui auront pour différentielles immédiates

aar/ + ^y'— 2j— a^r/'— a(j'+^/'--/) = o , (7) ^(2 — A/0 = o; ^ (8)

et l'on retombera sur Téquation (4) , soit qu'on élimine a entre les équations (5) et (7), soit qu'on élimine b entre les équations (6) et (8). Enfin, l'élimination dej^' entre les équations (5) et (6) reproduira l'équation (i). Il faut conclure de cette analyse : i® qu'à une équation différentielle du second ordre en x^j^j\y' correspondent deux équations de formes différentes en x^ 7, y qui y satisfont, ou deux intégrales premières de 1 équation du second ordre; a® que ces intégrales, pour avoir la même généralité que l'équation du second ordre à laquelle elles satisfont, doivent renfermer chacune une constante arbitraire; 3® que l'équation en ^,^qui satisfait à l'une quelconque de ces équations différentielles avec toute la généralité requise, et qui satisfait par conséquent avec la même généralité à l'équation du second ordre, dont elle est \ intégrale seconde, renferme deux constantes arbitraires, savoir : les deux constantes qui entrent dans la composition de chacune des intégrales premières; 4® que ces deux constantes arbitraires sont implicitement déterminées quand on assigne les valeurs initiales j^^ jr\ correspondant à l'abscisse initiale x^ , ou quand on donne un point par lequel doit passer la courbe dont x,j sont les coordonnées rectangulaires , et la direction de la tangente en ce point. 164. Il est aisé de poursuivre cette discussion en l'ap-

pliquant à des équations différentielles d'un ordre quelconque ; et , généralement , de ce qu'on peut toujours faire disparaître n constantes dans le passage d'une équation à deux variables à sa différentielle du rf ordre, on conclut que l'intégrale /^® d'une équation de cet ordre , ou l'équation ea Xj y qui y satisfait avec toute la généralité requise j doit renfermer n constantes arbitraires. L'équation différentielle du n^ ordre a pour intégrales premières n équations de l'ordre n — i, renfermant chacune une constante arbitraire; pour intégrales secondes

— -^^ ^ équations de l'ordre n — 2, renfermant chacune une combinaison binaire de ces n constantes; pour

intégrales troisièmes — ^-^'— 0 — équations de

Tordre n — 3, renfermant chacune une combinaison ternaire des mêmes constantes; et ainsi de suite. Si l'on élimine y, y, y*\. . • ,y»-«) entre les n intégrales premières, on aura l'intégrale /i* de la proposée, ou l'équation en a:,jr qui y satisfait, avec les n constantes arbitraires qu'elle comporte.

Ces n constantes seront déterminées implicitement , si l'on assigne les valeurs

pour l'abscisse a:^ [34].

On dit qu'une intégrale est générale ou complète , lorsqu'elle renferme des constantes arbitraires en nombre suffisant pour qu'elle conserve le même degré de généralité que l'équation différentielle à laquelle elle satisfait. Cette intégrale générale donne les intégrales particulières^ quand on attribue des valeurs déterminées aux constantes arbitraires.

FOBMATION DES ^QUATIOICS DIFFÉREKTIBLLES. 289

Ainsi réquation

(r + *)^-i-«(7 — /war')=:o,

dans laquelle a, b désignent des constantes arbitraires ,

est l'intégrale générale de l'équation du second ordre

{jr+mx')xf'+^f{X—xy)z=io. (i)

Si l'on pose successivement â=o, a =00 ,on a deux

équations