o,7 — i?wr* = o

qui toutes deux satisfont à l'équation (9), mais qui n'en sont que des intégrales particulières : la première ne renfermant que la constante arbitraire b, et la seconde ne comprenant plus de constante arbitraire.

Les n constantes arbitraires comprises dans une intégrale if doivent être distinctes pour que l'intégrale soit complète. Il est clair qu'au lieu d'une constante arbitraire C on pourrait écrire Ci + C» ; mais ce binôme , quoique offrant en apparence deux constantes arbitraires Ci et C>,se comporterait dans toutes les opérations auxquelles on pourrait le soumettre, comme la quantité monôme C dont il tient la place : les deux constantes ne seraient pas réellement distinctes et se confondraient en une seule. De même l'expression

ne renferme qu'en apparence deux constantes arbitraires distinctes 9 Ci, Ca; car on peut lui donner la forme (Cie*' + Cae*») €^; et tant que les constantes C^, Ci restent arbitraires, le facteur de^'^- Cae"» peut être remplacé par une seule constante arbitraire C, sans que l'expression perde de sa généralité.

Quand nous disons que l'intégrale complète a la même généralité que l'équation différentielle qui en dérive ou à laquelle elle correspond, la proposition doit être enten- T. I. 19

290 LIVEE m. CHAPITRE V.

due en ce sens qu'elles représentent Tune et l'autre la même série ou les mêmes séries de courbes : mais il peut y avoir en outre des équations qui satisfassent à Téquation différentielle sans être comprises dans l'intégrale complète ou sans faire partie de la série des intégrales particulières, et qui portent pour cette raison le nom intégrales ou de solutions singulières. Nous verrons bientôt ce que signifient géométriquement les intégrales singulières des équations différentielles du premier ordre ^ et nous reviendrons sur ce point essentiel dans la théorie de l'intégration des équations différentielles.

S a. Équations différentielles simultanées.

165. 11 est toujours possible de déduire d'un système d'équations différentielles en même nombre que les fonctions .r,\7, Zy de la variable indépendante t^

iHie équation différentielle finale entre deux variables seulement, telles que /et x. Du moins la formation de cette équation finale n'est sujette à d'autres difficultés que celles que peut présenter l'élimination entre des équations ordinaires, dans lesquelles n'entreraient pas de coefficients différentiels.

En effet, supposons d'abord que l'on ait deux fonctions x^ y dépendant de t, et deux équations différentielles que nous pourrons représenter par

x^^y ^'^ désignant, suivant la notation de Lagrange, les

ctx ClY

coefficients différentiels -y-:, ^-On différentiera nx fois la première équation et n fois la seconde; ce qui don-

FORMATlOir DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 291

nera, outre les deux proposées, /i + ^iz équations où le plus haut coefficient difierentiel de^ sera ^ ^'*+'*'\ On éliminera entre ces /i -f- /^I -ha équations les quantités

dont le nombre ne peut pas surpasser /z + /2i + i : l'équation résultante ne contiendra que t^ Xy x\ af\ etc. ; et Tordre de cette équation résultante ne saurait évidemment surpasser le plus grand des nombres //2+/2z

Admettons maintenant qu'on ait v équations entre la

variable indépendante t^ les v fonctions x, y^ z,

et leurs dérivées des divers ordres par rapport à ^ : un pareil système est ce qu'on nomme un système d'équations différentielles simultanées. Il pourrait se faire que toutes les dérivées qui entrent dans le système d'équations simultanées , ne fussent pas prises par rapport à la même variable indépendante /; mais au moyen des formules pour le changement de la variable indépendante, on ramènerait toujours le système proposé à ne contenir que des dérivées prises par rapport à la même variable indépendante.

Soient

:fW, /«) , ^),

les plus hautes dérivées des fonctions x, /y Zy

qui entrent dans le système proposé; et en admettant

qu'on veuille éliminer les variables^, z, et leurs

dérivées , pour arriver à une équation finale en /, Xy x\ x'\ etc. , posons

sz=z n + p +elc.

Si Ton difTérentie s fois chacune des équations du système, on aura, y compris les proposées, un nombre total d'équations exprimé par v(j* -|- i); d'un autre coté,

292 LIVRE m. CHAPITRE V.

les quantités à éliminer,

Zy si , z'' , ;g(P+«> ; etc.

sont en nombre

(/i+j+i)+(/?4-^+ i)+ete. z=zs+{s+iXy—i)=:*{s+i)---i ; et par conséquent Télimination donnera l'équation finale cherchée, dont Tordre ne peut pas dépasser le nombre

m'\-s==.m-\-n +p -f- etc.

Mais rien ne s'oppose à ce que l'ordre de l'équation finale soit moins élevé : ce qui arriverait, par exemple, d'après ce qu'on vient de voir, si l'on n'avait que deux équations entre les variables t, x^yeX. leurs dérivées, et si les plus hautes dérivées de jr et de ^ se trouvaient dans la même équation.

Considérons particulièrement le cas oii les équations proposées étant toutes du premier ordre, pourraient d'ailleurs être mises sous la forme x'—J\t^^,z,....)y=fXt,x^,z,....^^^^ etc. :

au lieu de différentier à la fois toutes ces équations , il sera plus simple de différentier toujours la même, ia première par exemple , en substituant après chaque différentiation , aux dérivées .r',^', z', etc. , que cette opération introduit dans le second membre, leurs valeurs données immédiatement par les équations proposées. Après V — 1 différentiations successives, on aura (en y comprenant la première des équations proposées) v équations entre les dérivées x\ x'\ . . . . , jrW, et les variables ty X, y y Zy etc. Il ne s'agira plus que d'éliminer entre cesv équations les v — i variables j^, Zy etc. , pour avoir l'équation finale cherchée.

FORMATIOir DES :éQU AXIONS DIFFERENTIELLES. 293 S 3. Des équations aux différences partielles. 166. Soient données deux équations de la forme

dont la seconde deviendrait une fonction des seules variables ^Cjj-, z, si Ton y substituait pour a sa valeur tirée de la première : on pourra regarder z comme une fonction des deux variables indépendantes x, y; et si l'on différentie successivement l'équation {g) par rapport à ces deux variables, on aura, en conservant aux lettres fy q leur signification ordinaire ,

dF dF dF /df df \ , ^^

On peut éliminer entre les équations (g) et (g) les fonctions fa, 9' a; et comme 1 équation aux différences partielles du premier ordre [ia4]

qui résulte de cette élimination , est indépendante de la forme de la fonction (p, elle exprime une propriété corn* mune à toutes les valeurs de z en fonction de x, jr, que Ton peut tirer de la formule (g\ en changeant la forme de la fonction ^ , sans changer les fonctions F etf. G>nséquemment elle exprime aussi une propriété commune à toutes les surfaces dont l'équation en x, y^ z rentre dans l'équation (^), moyennant une détermination convenable de la fonction ^ .

Soit, par exemple,

a=aar-f-ij, z — <pa=o,

294 LIVBE III. CHAPITRE V.

OU

zz=:zff{aa;-hbf): (A)

les équations dérivées prendront cette forme très-simple

p — a<p'a = o , y — i<p'a = o , d'où

bp — aqzrzo . (/)

167. Si Ion a deux équations, l'une aux différences partielles , l'autre ne renfermant que les variables primitives, sans leurs dérivées, mais toutes deux convenant aux mêmes fonctions et ayant le même degré de généralité, la seconde équation est dite Yintégrale générale de la première. Ainsi l'équation {h) est l'intégrale générale de l'équation (/), parce qu'elle renferme, moyennant l'indétermination du signe (p, toutes les équations d'où l'on peut tirer une valeur de z en fonction de ^,^, propre à vérifier Féquation (/).

La raison de cette dénomination ^intégrale est la même que pour les équations qui satisfont à une équation différentielle ordinaire entre deux variables [iftaj. Concevons en effet qu'après avoir particularisé la fonction f , on donne aux variables or, y deux systèmes de valeurs (-t?o'J^o)7C^,j^,)) et soient z^^z^ les valeurs correspondantes de z : on tirera de l'équation [Ji) la valeur de la différence finie Zx — Zo\ mais cette différence finie est la somme ou l'intégrale des accroissements infiniment petits que reçoit la fonction z quand x passe d'une manière quelconque de la valeur x,, à la valeur Xx , et qu'ea même temps y passe y aussi d'une manière quelconque , de la valeur ^o à la valeur j^^; sauf toujours le cas exceptionnel où la fonction z éprouverait des solutions de * continuité du premier ordre pendant qu'on fait ainsi varier les quantités x, /.

FORMATION DES EQUATIONS DlFFlifiEirTIELLES. 295

Les équations que l'on tire de l'équation {h) en particularisant la fonction arbitraire <p, sont des intégrales particulières de l'équation {i)\ dans tous les cas, il Êiut entendre par intégrales particulières celles qui se tirent de l'intégrale générale, quand on particularise une ou plusieurs des fonctions arbitraires que celle-ci doit renfermer, afin d'avoir la même généralité que Téquation aux dififérences partielles à laquelle elle correspond , ou quand on établit entre ces fonctions arbitraires des relations qui en restreignent la généralité.

Par exemple, si l'on a l'équation

zz=:tf[x + ax) + ^{x—ax) , [k)

où 9, ^ désignent des fonctions arbitraires, et si l'on calcule au moyen de cette équation les dérivées partielles du preipier et du second ordre ^, y, /•, s y ty il vient :

q=:a^\x + ax)—a^'{x---ax)y

i = a<p" {oc-^-ay) — aY {^ — ^7 »

r=a*<p"( jr + ay) -{' a^^' {x — ay) .

On en conclut cette équation aux différences partielles du second ordre

aV = f, (/)

qui ne contient plus les fonctions 9, v|;, et qui possède, comme la suite le fera \oir, autant de généralité que l'équation (A-) d'où elle est dérivée. Réciproquement l'équation (^), qui satisfait à l'équation (/) avec toute la généralité possible, en est l'intégrale générale.

Mais si l'on établissait entre les fonctions 9, i/ une certaine dépendance : si l'on posait notamment v|; t= — 9 1, on ift'=z(fty les équations

dans lesquelles il reste encore une fonction arbitraire ^, ne seraient plus que des intégrales particulières de Fé* quation (/).

Les équations aux différences partielles peuvent avoir auissi, comme les équations différentielles ordinaires, des intégrales ou des solutions singulières; c'est-à-dire que l'on peut y satisfaire, dans certains cas, par des équa* lions entre les variables primitives, qu'il serait impossible de tirer de l'intégrale générale, en particularisant les fonctions arbitraires que celle-ci renferme. Nous ne tarderons pas à voir des exemples de ces intégrales singulières dans les applications du calcul différentiel à la théorie des surfaces ; et ce sujet sera repris dans la partie du présent Traité où il s'agira de l'intégration des équations aux différences partielles.

168. Une équation aux différences partielles de Tordre n est susceptible d'avoir des intégrales premières de l'ordre n — i, des intégrales secondes de l'ordre n — a, et ainsi de suite. Par exemple, de l'équation du premier ordre

P = Uf, (m)

dans laquelle II désigne une fonction arbitraire, on tirera, en différentiant successivement par rapport à x et par rapport à j-,

r = sU'qy s=tn'q^ et ensuite , en éliminant Jïq,

rt — ^s=o. (/i)

La caractéristique n a disparu de cette équation du second ordre, à laquelle l'équation (m) est parfaitement équivalente, tant que la fonction n conserve son indétermination. Par conséquent l'équation (/») est une in-

FORMATlOfT DES l^QUATIONS DIFFÉRENTIfiLLBS. 297

tégrale première de Téquation (n); et si l'on pouvait assigner une équation en.r,^, z, satisfaisant de la manière la plus générale à l'équation [m)^ on aurait l'intégrale seconde de l'ëquation (n).

Or, on satisfera à l'équation (m), non pas à la vérité par une seule équation en or, j^*, z, mais par le système de deux équations entre Xy jy z et une autre variable auxiliaire a, savoir

la seconde étant la dérivée de la première par rapport à l'auxiliaire a. En effet, si l'on différentie l'équation {p) successivement par rapport à x et par rapport à /*, il viendra

;? = (pa 4- ^ (1+ ^ (p'a -+• r ^^'a) ,

ou simplement, en vertu de l'équation (r/),

et tant que les fonctions f,^ sont arbitraires aussi bien que n, le système de ces dernières équations équivaut à l'équation (m).

Le système des équations (o), (o'), renfermant les fonctions arbitraires ç, ^ et une variable auxiliaire a dont on ne peut faire l'élimination tant que les fonctions ç, ^ restent indéterminées, représente donc l'intégrale seconde et complète de l'équation du second ordre {n). Cette forme des intégrales des équations aux différences partielles, lorsqu'il s'agit, comme dans notre exemple, d'équations à deux variables indépendantes , se rattache à des spéculations géométriques très-curieuses , que nous ferons bientôt connaître.

298 LIVRB III. CHAPITRE V.

169. On a vu [i66] que 1 élimination d'une fonction arbitraire, dans une équation à trois variables, conduit à une équation aux différences partielles du premier ordre : nous en conclurons qu'inversement Tintégrale générale d'une équation aux différences partielles du premier ordre, à trois variables, doit renfermer une fonction arbitraire d'une certaine quantité a, déterminée elle-même en fonction des trois variables. Quand le nombre des fonctions arbitraires à éliminer est plus considérable, l'élimination conduit en général à une équation aux différences partielles d'un ordre plus élevé; mais il n'existe plus alors de rapport déterminé entre le nombre des fonctions arbitraires éliminées, et l'ordre de l'équation aux différences partielles résultant de l'élimination. Réciproquement, on ne peut pas conclure immédiatement, de l'ordre d'une équation aux différences partielles, le nombre de fonctions arbitraires que son intégrale doit renfermer pour être générale ou complète: de la même manière que Ton conclut, de l'ordre d'une équation différentielle à deux variables, le nombre de constantes arbitraires que doit contenir son intégrale générale.

Soient

deux fonctions, dont la composition en .r, y, z est donnée, et qui entrent sous les signes de fonctions arbitraires (p, ^ dans l'équation

si l'on forme les équations

rf»F ^F rfT , .

FORMATION DES JÎQUATIONS DlFFÉABJilTlKLLflS. 290

on introduit les fonctions indéterminées fa, ^'p, ^"^j vj/^'P; et en les joignant à (p a, ^ ^ on a six quantités à éliminer entre les six équations (/?), (g^), (r); ce qui ne peut conduire en général à une équation aux. différences partielles, indépendante de la forme des fonctions 9,<|;. £n passant aux dérivées du 'i^ ordre, on aura quatre nouvelles équations #

iP¥ iPF iPF dP¥

dœ"— ' dx^dy ' dxdy^ ' df~ '

et l'on n'introduira que deux nouvelles indéterminées ç"'a, 4^'"P : on pourra donc former, et en général de plusieurs manières, une équation aux différences partielles du 3^ ordre, indépendante de la forme des fonctions ç, ^1^, et dont l'équation (/?) sera l'intégrale générale. Mais il pourra arriver aussi que l'élimination des fonctions (p , ^ se fasse sans qu*on ait besoin de passer aux dérivées du 3* ordre, et qu'ainsi I équation (/?)soit l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles, du second ordre seulement. On en a vu plus haut uo exemple sur l'équation (Je),

En général , soit v le nombre des fonctions arbitraires contenues dans une équation à trois variables Xjj-, z ; la composition de chaque quantité qui entre sous le signe de fonction arbitraire étant donnée en .r, jr, z : si l'on joint à cette équation ses dérivées partielles jusqu'à celles de l'ordre n inclusivement, on a un nombre total d'équations exprimé par

tandis que le nombre des fonctions arbitraires et de leurs

dérivées, entrant dans ce système d'équations, est v(v*-|-i).

L'élimination ne sera possible dans tous les cas qu'au*

300 LivaE m. — chapithe v.

tant qu'on aura

v(v-4-i) < ■/ — ^— ^, ou n >2 V — a ;

c'est-à-dire qu'il faudra en général pousser les différentiat ions jusqu'à l'ordre av — ^^i, et que l'équation aux différences partielles, résultant de l'élimination, sera en généHil de Tordre 2v — i ; mais elle pourra être aussi d'un ordre moins élevé.

170, Considérons maintenant une équation à quatre variables.

dans laquelle (p désigne une fonction arbitraire des deux quantités a, p dont la composition en u, x^y^ z est connue et donnée par les équations auxiliaires

En différentiant l'équation {s) par rapport à chacune

des trois variables indépendantes x^ 7, 2, on a trois

équations

dP dY dY

dans lesquelles figurent, outre la fonction indéterminée

<p (a, p), ses deux dérivées partielles -j-^ -^ : or, rien ne

s'oppose à ce qu'on élimine ces trois indéterminées entre les quatre équations {s) et {t) ; et Ton obtiendra ainsi une équation aux différences partielles du prer mier ordre , indépendante de la forme assignée à la fonction arbitraire <p. Nous en conclurons que réciproquement l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles du premier ordre , à trois variables indépendantes, doit renfermer une fonction arbitraire de deux quantités^ ayant chacune une composition déterminée.