FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3Q
Et par une généralisatiou qui s'offre d'eUe-même , nous dirons que Tintégrale complète d'une équation aux difFérences partielles du premier ordre, à n variables indépendantes , doit renfermer une fonction arbitraire de n — I quantités , composées chacune d'une manière déterminée avec les /ï-[- î variables dont il y en a /i d'indépendantes
Si l'on avait Téquation
F[a,ar,7,z,cp(a, p) , + (y, S)] = o , il faudrait s'élever au 4* ordre pour opérer dans tous les cas l'élimination des fonctions arbitraires ç, ^ et de leurs dérivées; a, P, y, ^ désignant toujours des quantités dont la composition est donnée en u^ x^ /, z.
171. Le cas le plus simple est celui oîi les quantités a, ^,. ... ne contiennent qu'une variable indépendante, par exemple la variable x. Dans ce cas, au lieu de
^, ^P, on peut écrire simplement f^Xy f^x^ ;
9,<(/, désignant toujours des fonctions arbitraires.
Soit donc
une équation à deux variables indépendantes, dans laquelle les fonctions arbitraires (p.r, t{;.r, sont en
nombre n. Si l'on différentie n fois par rapport à la variable^, ces difierentiations successives n'introduiront pas les dérivées des fonctions ç , ^^ , et l'on obtiendra ainsi /z-j-i équations , entre lesquelles on pourra
toujours éliminer les n indéterminées (p^, ^x^
De même si l'on avait l'équation
où les fonctions arbitraires ç(^,^), ^'G^? J^)?
sont encore en nombre /z, il suffirait de difierentier n
304 LIVRB IV. CHAPITRE 1.
exposé dans le chapitre III du premier livre la génération des fonctions dérivées ou des coefficients différentiels. C'est même par suite des efforts qui étaient tentés pour résoudre d'une manière générale le problème des tangentes, que le calcul différentiel a été trouvé; et on le désignait dans l'origine sous le nom de Métlwde des tangentes.
Le procédé le^plus élégant pour résoudre le problème de mener une tangente à une courbe au point {x, y) consiste à donner Téquation de cette tangente. Désignons donc par Ç,y) les coordonnées courantes de la droite tangente , rapportées respectivement aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées x^y de la courbe. L'équation cherchée sera
pour satisfaire à la double condition que la droite passe par le point {x^f) et qu'elle fasse avec l'axe des x un
angle qui ait pour tangente trigonométrique -j-.
L'équation de la normale à la courbe, ou de la droite perpendiculaire à la tangente au point (or, ^), est, en vertu d'un principe connu de géométrie,
et on peut lui donner la forme plus symétrique (r\ — 7)^7+ (5 — x)dxz=zo .
En faisant y)=o dans l'équation de la tangente, on a
dx y ^ ^ dy f la distance ib {x — Ç) du pied de l'ordonnée au point où la tangente rencontre l'axe des abscisses , se nomme la sous'tangente. Le double signe a pour objet d'indiquer
TANGBlfTES ET iTORMALfeS DES COURBES PLANES. 305
t{ue l'on ne considère dans cette distance que sa grandeur absolue, sans égard au signe que l'équation précédente donnerait au binôme x — ^.
En faisant de même y)c=:o, dans l'équation de la normale, on trouve
la distance ±($— ^x) du point où la normale rencontre l'axe des abscisses, au pied de l'ordonnée correspondante, se nomme la sous-normale.
L'ordonnée / est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la sousHiormale,
Quelquefois on entend pai* tangente et par normale les portions de la tangente et de la normale comprises entre la courbe et l'axe des abscisses. Dans ce sens (qui commence à vieillir), la tangente et la normale ont respectivement pour valeurs
dx
z=±jr\/i+y* .
Pour chaque courbe donnée, il faudra substituer dans les
formules précédentes les valeurs éh x dej' et de^'= -j- ,
tirées de l'équation de la courbe.
Si cette équation est donnée sous la forme
on à
et par suite l'équation de la tangente devient
c'est-à-dire qu'on la déduit de l'équation différentielle de la courbe, en y remplaçant les différentielles dx^dy par les différences Ç — x, t\ — y; ce qui doit être, puisqu'il est permis de considérer la tangente comme le prolongement d'une corde menée par deux points infiniment voisins.
L'équation de la normale est
Si l'on regarde dans les équations (A), (c), les coordonnées Ç,Yi comme des quantités constantes, et x^y comme des coordonnées courantes, ces équations appartiennent à deux lignes qui passent par le point (Ç,y)), et dont les points d'intersection avec la courbe {a) déterminent les tangentes ou les normales à cette courbe, me* nées par le point (Ç , yi).
Les équations (è)et((?) ne changeraient pas si l'équation (ci) était remplacée ^diX f[Xyy)^=.Cy c désignant un paramètre constant que la différentiation fait disparaître. Donc on peut encore considérer les lignes (è) et (c) comme les lieux géométriques des points où des droites qui concourent au point (Ç, yi) viennent toucher ou couper à angles droits les courbes qu'on obtient en attribuant au paramètre c une suite de valeurs particulières.
173. Appelons a,p les angles que la tangente forme avec des parallèles aux axes des x et desjr, menées par le point (.r^), dans le sens des coordonnées positives : nous aurons
CoS«=±-=L=;; COSp=±— ^=, {d)
En appelant X,(jl les angles homologues pour la nor-
TANGKfTTES ET HOHMALES DES COURBES PLANES. 307
maie y on obtiendra
cosX=-4 j costi.=±:. ^ (S)
Les signes adoptés pour ces quatre cosinus doivent être combinés de manière à satisfaire à Téquation
cos a cos X -f- cos p cos fX = o , laquelle exprime, comme on sait, que la tangente et la normale sont perpendiculaires l'une à l'autre.
Lorsque l'équation de la courbe est donnée sous la forme (a), on a
cos a cosp I
174. On entend par la longueur d'un arc de courbe entre deux points donnés , la limite dont s'approche indéfiniment le périmètre d'une ligne polygonale inscrite ou circonscrite à l'arc , et terminée aux mâmes points , quand le nombre des côtés du polygone augmente indéfiniment. Si donc on appelle s la longueur de l'arc d'une courbe, depuis le point {x^^j^ pris pour origine jusqu'au point (.r,/), s sera une fonction de x^ qui , par la définition même , satisfera à l'équation différentielle
ds=:± i/dx^^df* = ±V/7+7^.dic : (s)
le signe 4- ou le signe — devant être choisi , suivant que l'arc croît ou décroît pour des valeurs croissantes de x. Au moyen de l'équation (j), les formules (rf), (J) deviennent
dx dy dy dx
cosff— ± -r- , cosB=±: -y- : cosX=c±: ~- , cos!xz=±:-7- • ds ^ ds^ ds^ ' ds
On dit encore que la longueur d'un arc de courbe est
celle de la portion de ligne droite sur laquelle l'arc
pourrait s'appliquer exactement, s'il était formé par
308 LÏVHE IV. CHAPITRE î*
un fil flexible et inextensible. Mais cette définition (outre qu'elle implique au fond un cercle vicieux) est plutôt physique que mathématique ;et il en faudrait dire autant de toute définition de la grandeur s^ où l'on prétendrait éluder l'emploi des limites ou de l'infiuiment petit.
Il n'en est pas de même pour Taire d'une courbe : car, ayant défini l'aire A d'un polygone , on conçoit directement que, si l'on trace dans l'intérieur du polygone une ligne fermée, courbe ou polygonale, on retranche de A une portion B de cette grandeur; en sorte que la notion de limite ou d'infiniment petit n'est requise que pour la mesure de la grandeur B, si le contour est courbe , et non pour la définition même de cette grandeur.
Au surplus, voici comment on a coutume de démontrer l'équation (s), lorsqu'on ne la prend pas pour la définition même de la grandeur j, dont l'idée est alors censée donnée à priori.
Soit mmxifig, [\\) un arc assez petit pour que, dans l'étendue de cet arc, la courbe tourne sa convexité du même côté, ou pour qu'elle ne coupe pas sa tangente entre m et t. On prend pour axiome, d'après Archimède, que la longueur de l'arc mmx est comprise entre celle de la corde mmx et celle de la ligne brisée enveloppante mtmx. Désignons par Ao; l'intervalle /?/?x:=w A-
on a
/wf=l/i-hr'*.Ar, mJL:=^rt — rm^=.y ^ — A/,
corde /W7W-== V/ i-4-"r^* ^ • Donc le rapport de la ligne enveloppante à la corde est
et il a évidemment l'unité pour limite : donc aussi le rapport
a l'unité pour limite, ce qui établit l'équation (s).
175. Donnons quelques applications des formules qui précèdent. L'équation de l'ellipse , rapportée à son centre et à ses axes, étant de la forme
l'équation (A) deviendra
ou bien
ou enfin
L'équation (bi) est celle d'une autre ellipse qui passe par le point (Ç,y)), et dont les points d'intersection avec l'ellipse (e) sont les points de contact de cette ellipse et des droites venant du point ($,to)'
Si l'on remplace les demi-axes a^ b par ca^cbyet qu*on fasse varier la constante c, on obtient une suite d'ellipses concentriques et semblables ; et les points où chacune de ces ellipses est coupée par l'ellipse (Ai), sont ceux où elle serait touchée par des droites parties du point (S, Yi).
L'équation (b») est celle de la droite tangente à Tellipse (é) au point (x, /), quand on y regarde Ç, y) comme les coordonnées courantes; et lorsqu'on y considère au
contraire x^j comme les coordonnées courantes et Ç,yi comme des constantes, cette équation devient celle d'une droite qui coupe l'ellipse en deux points où elle est touchée par des droites venant du point (Ç, yj).
Si Ton fait dans Téquation {b^ yi = o, on a Ç= — ;
oc
ainsi la sous-tangente est indépendante de l'axe 2 by et la même pour l'ellipse proposée que pour le cercle décrit sur l'axe ia comme diamètre. De là on déduit une construction très-simple de la tangente à l'ellipse , indiquée dans tous les traités des sections coniques. L'équation de la normale à l'ellipse proposée est
et Ton en tire, en faisant yj=o,
ce qui exprime que la sous-normale est numériquement proportionnelle à l'abscisse.
L'équation de la parabole ordinaire , rapportée à son axe et à son sommet , étant
celles de la tangente et de la normale sont respectivement
La sous-taugente est égale au double de l'abscisse , et la sous-normale est égale au paramètre p, ou au double de la distance du sommet au foyer de la parabole. La tangente et la normale à la courbe logarithmique
7 = log 07
ont respectivement pour équations
Par la permutation des axes la première équation deviendra
et en faisant maintenant yi=o, on trouvera x — 5= i, c est-à-dire une valeur constante pour la sous-tangente. Ce caractère fournit la véritable définition géométrique de la courbe, dont on ne donne qu'une définition arith* métique tant qu'on se borne à dire que les abscisses sont les logarithmes des ordonnées correspondantes.
176. Parmi les courbes qu'on a appelées transcen* danteSy à cause que leurs équations en coordonnées rectilignes renferment des fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires , la plus célèbre dans l'histoire des mathématiques, et la plus remarquable à cause de la foule de propriétés curieuses dont elle jouit, est la cycloïde. On appelle ainsi la courbe décrite par un point quelconque M {^fig* 4^) de la circonférence d'un cercle NMN' qui roule sans glisser sur la droite indéfinie X'X, base de la cycloïde, c'est-à-dire, de manière que la longueur d'un arc quelconque MN soit égale à celle de la portion de droite ON sur laquelle tous les points de l'arc M N viennent successivement s'appliquer. Menons le rayon C M=R , et soit <p l'angle variable M CN, x=0 P l'abscisse du point M,jr=PM son ordonnée rectangulaire, l'origine O étant le point où le point M touche la base X'X : on a par la définition ON=;R<p,PN=MI=Rsin(p, PM=IN=Rfi— cos?) , d'où
^z=R(f — sin<p), {f)
7 = R(i — cos<p) . {g)
Chacune des équations {f) et {g) peut être prise pour
312 LIVRE l\i CHAPITRE I.
l'équation de la cycloïde, l'une étant entre les coordonnées ar et <p , l'autre entre les coordonnées j et (p. D'après le mode de description de la courbe, rien ne limite le nombre des révolutions du cercle sur la droite X'X> en arrière et en avant du point O : la continuité géométrique exige donc que l'on conçoive la cycloïde comme formée d'une infinité X arceaux^ tels que OMQR, parfaitement superposables. La distance OR des pieds d'un arceau est égafe à la longueur de la circonférence du cercle générateur; l'ordonnée S Q menée par le milieu de OR est égale au diamètre du cercle et divise l'îarceau OQR en deux parties symétriques.
Pour représenter ce mouvement indéfini du cercle générateur, il faut admettre que k variable <p peut être prise tant positivement que négativement, et que sa grandeur absolue peut atteindre et dépasser un nombre quelconque de circonférences. Or, ceci admis , chacune des équations ( /) et [g) représente en effet la cycloïde dans toute l'étendue de son cours, à cause de la périodicité des fonctions sin <p, cos (p, établie en trigonométrie, et résultant d'ailleurs, ^insi qu'on Ta vu [74]^ d^ '* fonne des équations différentieHes qui peuvent servir à définir analytiquement ces fonctions. Il y a corrélation exacte entre la génération géométrique de la courbe et la discussion analytique de son équation; ce qui tient au choix de la variable indépendante <p donnée par le mode même de description de la courbe, conformément à la remarque du n° 11.
Supposons maintenant qu'on veuille avoir l'équation de la cycloïde entre les coordonnées rectangulaires x^y: on tirera de l'équation {g)
cos 9= — 5~^, dou sm(p = ±: ~ — ^ ,
le radical devant être pris positivement ou négativement, suivant que la valeur de l'arc <p donne à sin f , d'après les règles de la U'igonométrie, une valeur positive ou négative. L'équation entre x eiy sera
j: = R arc cos (-^^ ) ± V^aRj— J* ; (A)
mais à chaque valeur de x ne correspondra que Tune des valeurs, en nombre infini , dont l'expression
R arc cos ( — ^— j
est susceptible, et en outre les deux, signes du radical ne devront pas être employés simultanément. II faudra prendre le signe supérieur quand le point (.r,jr)appartiettdra à l'arc OQ, et le signe inférieur quand le point appartiendra à l'arc QR, en opérant la même permutation de signes, chaque fois que l'on passera par le sommet ou par le pied d'un arceau. Si l'on employait simultanément les deux signes , l'équation {h) représenterait le système de deux cycloïdes inversement disposées [h- 43 )j que leur génération géométrique ne lie point 'une à l'autre; et la corrélation habituelle entre la géométrie et l'analyse (telle qu'on l'observe, par exemple, pour les sections coniques) se trouverait en défaut. Nous reviendrons plus loin sur le principe et sur les restrictions de cette correspondance entre les formules analytiques et les lois géométriques de la description des lignes.
177. Pour déterminer la tangente à la cycloïde,on pourrait difFérentier l'équation (A); mais il sera plus sinaple de retenir la variable cp et d'opérer sur les équations (/) et {g\ ce qui donnera
dlr = R(i — cos<p)€/(p, rfj = Rsin<
et par suite
dx I — cos<p y y
Cette valeur devient nulle quand^=2R, ce qui arrive aux sommets des arceaux, et infinie quand j* s'évanouit. Les pieds des arceaux sont donc des points de rebroussement, où la tangente devient perpendiculaire à la base de la cycloïde. On a pour la valeur de la sousnormale
J/'aRj— j* = R sin <p .
Ainsi la normale MN à la cycloïde coupe la base X'X au point N où cette droite est touchée par le cercle générateur, et la tangente TM va passer à l'autre extrémité N' du diamètre perpendiculaire à la droite X'X. On a en conséquence , pour la longueur de la normale MN, cette valeur très-simple dont nous nous servirons plus loin,
On peut remarquer que la longueur MN décroît de plus en plus dans le voisinage du point O, quoique la normale s'incline de plus en plus sur l'axe des x.
§ %. Des asymptotes des courbes planes.
178. On appelle asymptote d'une courbe plane une droite dont un point mobile sur la courbe s'approcherait indéfiniment, sans jamais l'atteindre : de manière que la perpendiculaire ^ abaissée de ce point sur la droite tombât au-dessous de toute grandeur finie, sans jamais s'évanouir ; et pour cela il faut que la branche de courbe sur laquelle on conçoit le point en mouvement, s'éloigne à l'infini.
